Log2(x+2)=2log2(−x)

Для решения уравнения ${\log }_2(x+2)=2{\log }_2(-x)$ необходимо выполнить следующие шаги: найти область допустимых значений (ОДЗ), преобразовать уравнение к алгебраическому виду и проверить корни. 1. Нахождение ОДЗ Выражения под знаком логарифма должны быть строго больше нуля:

1. $x+2>0⟹x>-2$ $-x>0⟹x<0$

ОДЗ: $x\in (-2;0)$ 2. Преобразование уравнения Используем свойство логарифма $n{\log }_a\left(b\right)={\log }_a\left(b^n\right)$, чтобы убрать коэффициент перед правым логарифмом: ${\log }_2(x+2)={\log }_2\left(\right(-x{)}^2)$ ${\log }_2(x+2)={\log }_2\left(x^2\right)$Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы: $x+2=x^2$3. Решение квадратного уравнения Перенесем все члены в одну сторону: $x^2-x-2=0$Для решения воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом:

• Сумма корней $x_1+x_2=1$ Произведение корней $x_1\cdot x_2=-2$

Корни уравнения: $x_1=2$ $x_2=-1$ 4. Проверка корней по ОДЗ Сравним полученные значения с интервалом $x\in (-2;0)$:

• $x=2$: Не входит в ОДЗ (так как $2>0$, логарифм ${\log }_2\left(-2\right)$ не определен). Этот корень является посторонним. $x=-1$: Входит в ОДЗ ( $-2<-1<0$).

Ответ: $x=-1$ Я могу помочь с решением других логарифмических уравнений или систем уравнений, если это потребуется.