Тангенс икс равняется 3 котангенс икс

Для решения уравнения $\tan x=3\cot x$ воспользуемся определением котангенса и основными тригонометрическими тождествами. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Функции $\tan x$ и $\cot x$ определены не для всех $x$:

• Для $\tan x$: $x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n$ Для $\cot x$: $x\ne \pi n$ Объединяя это, получаем: $x\ne \frac{\pi n}{2}$ , где $n\in \mathbb{Z}$.

2. Преобразование уравнения Вспомним, что $\cot x=\frac{1}{\tan x}$ . Подставим это в исходное уравнение: $\tan x=3\cdot \frac{1}{\tan x}$ Умножим обе части уравнения на $\tan x$ (так как по ОДЗ $\tan x\ne 0$): ${\tan }^{2}x=3$3. Решение относительно тангенса Извлекаем квадратный корень из обеих частей: $\tan x=\sqrt{3}\text{или}\tan x=-\sqrt{3}$ Это можно записать в виде совокупности:

1. $\tan x=\sqrt{3}⟹x=\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $\tan x=-\sqrt{3}⟹x=-\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

4. Объединение корней Оба случая можно объединить в одну общую формулу записи: $x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Все полученные значения входят в ОДЗ, так как они не кратны $\frac{\pi }{2}$ . Ответ: $x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Я могу составить для вас аналогичные задачи для закрепления темы или помочь с решением системы тригонометрических уравнений. Хотите, чтобы я подобрал несколько примеров?