Выполнив полное исследование функции, построить ее график y=2x * e в степени -(x^2/2)

Исследование функции $y=2x{e}^{-x^2/2}$ позволяет определить её ключевые характеристики для построения графика. ️ Шаг 1: Область определения, четность и точки пересечения

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, так как экспонента и линейная функция не имеют ограничений. $D\left(y\right)=\mathbb{R}$. Четность: Проверим условие $f(-x)$:
   $f(-x)=2(-x)e^{-(-x{)}^2/2}=-2x{e}^{-x^2/2}=-f\left(x\right)$Функция является нечетной, её график симметричен относительно начала координат. Пересечение с осями:

• С осью $Oy$: при $x=0,y=0$. С осью $Ox$: $2x{e}^{-x^2/2}=0⟹x=0$.
  Единственная точка пересечения — $(0;0)$.

️ Шаг 2: Асимптоты

1. Вертикальные асимптоты: Отсутствуют, так как функция непрерывна на всей числовой прямой.
2. Горизонтальные асимптоты: Найдем предел на бесконечности:
   $\underset{x\pm \infty }{\lim }2x{e}^{-x^2/2}=\underset{x\pm \infty }{\lim }\frac{2x}{e^{x^2/2}}=0$ (по правилу Лопиталя или в силу более быстрого роста экспоненты). Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота.

️ Шаг 3: Экстремумы и монотонность Найдем производную: $y^{\prime }=2e^{-x^2/2}+2x{e}^{-x^2/2}\cdot (-x)=2e^{-x^2/2}(1-x^2)$ Приравняем к нулю: $1-x^2=0⟹x_1=-1,x_2=1$.

• На интервале $(-\infty ;-1)$: $y^{\prime }<0$ (убывание). На интервале $(-1;1)$: $y^{\prime }>0$ (возрастание). На интервале $(1;+\infty )$: $y^{\prime }<0$ (убывание).
  Точки экстремума: Минимум: $x=-1,y=-2e^{-0.5}\approx -1.21$. Максимум: $x=1,y=2e^{-0.5}\approx 1.21$.

️ Шаг 4: Выпуклость и точки перегиба Найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }=2e^{-x^2/2}(-x)(1-x^2)+2e^{-x^2/2}\left(-2x\right)=2x{e}^{-x^2/2}(x^2-3)$ Приравняем к нулю: $x(x^2-3)=0⟹x_1=0,x_{2,3}=\pm \sqrt{3}$ .

• Интервалы $(-\infty ;-\sqrt{3})$ и $(0;\sqrt{3})$ : $y^{\prime \prime }<0$ (выпуклость вверх). Интервалы $(-\sqrt{3};0)$ и $(\sqrt{3};+\infty )$ : $y^{\prime \prime }>0$ (выпуклость вниз).
  Точки перегиба: $(0;0)$ и $(\pm \sqrt{3};\pm 2\sqrt{3}{e}^{-1.5})\approx (\pm 1.73;\pm 0.77)$ .

Ответ: Функция нечетная, имеет горизонтальную асимптоту $y=0$. Возрастает на $[-1,1]$, убывает на $(-\infty ,-1]$ и $[1,+\infty )$. Точки локального максимума $(1;2e^{-0.5})$ и минимума $(-1;-2e^{-0.5})$. График проходит через начало координат, плавно приближаясь к оси $Ox$ при удалении от центра. Хотите рассчитать точные значения функции в точках перегиба или подготовить таблицу значений для более детального построения?