Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси оy фигуры, ограниченной линиями: y=x+1,y=0,x+y=1 .

Для вычисления объема тела вращения вокруг оси $Oy$ воспользуемся методом интегрирования по переменной $y$. Объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной кривой $x=f\left(y\right)$ и прямыми $y=c,y=d$, вычисляется по формуле $V=\pi {\int }_c^d{x}^{2}dy$. Шаг 1: Выражение переменной x через y и нахождение точек пересечения Перепишем уравнения заданных линий относительно $x$:

1. $y=x+1x=y-1$ $x+y=1x=1-y$ $y=0$ — нижняя граница интегрирования.

Найдем точку пересечения первых двух линий: $y-1=1-y2y=2y=1$. Это будет верхняя граница интегрирования. Фигура представляет собой треугольник с вершинами $(-1,0)$, $(1,0)$ и $(0,1)$. При вращении вокруг оси $Oy$ правая и левая стороны треугольника описывают один и тот же объем, так как они симметричны относительно оси $Oy$ (дистанция до оси равна $|1-y|$). Шаг 2: Составление интеграла для вычисления объема Так как при вращении вокруг оси $Oy$ образуется конус, радиус сечения которого в каждой точке $y$ равен $x=1-y$ (или $|y-1|$), объем вычисляется следующим образом: $V=\pi {\int }_0^1(1-y{)}^{2}dy$Шаг 3: Вычисление определенного интеграла Раскроем квадрат разности или воспользуемся заменой переменной: $V=\pi {\int }_0^1(1-2y+y^2)dy=\pi [y-y^2+\frac{y^3}{3}{]}_0^1$ Подставим пределы интегрирования: $V=\pi (1-1^2+\frac{1^3}{3})-\pi (0-0^2+\frac{0^3}{3})=\pi (1-1+\frac{1}{3})=\frac{\pi }{3}$ Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{\pi }{3}$ кубических единиц. Требуется ли вам помощь с построением графика данной фигуры или расчетом объема при вращении вокруг оси Ox?