∫ x ln² xdx найти неопределённый интеграл. результат проверить дифференцированием.

Для нахождения неопределенного интеграла $\int x{\ln }^{2}xdx$ воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: $\int udv=uv-\int vdu$1. Вычисление интеграла Пусть:

• $u={\ln }^{2}x⟹du=2\ln x\cdot \frac{1}{x}dx$ $dv=xdx⟹v=\frac{x^2}{2}$

Применяем формулу в первый раз: $\int x{\ln }^{2}xdx=\frac{x^2}{2}{\ln }^{2}x-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{2\ln x}{x}dx=\frac{x^2}{2}{\ln }^{2}x-\int x\ln xdx$ Для оставшегося интеграла $\int x\ln xdx$ применим метод по частям еще раз:

• $u=\ln x⟹du=\frac{1}{x}dx$ $dv=xdx⟹v=\frac{x^2}{2}$

Вычисляем внутренний интеграл: $\int x\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x}{2}dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}$ Подставляем это выражение в основное уравнение: $\int x{\ln }^{2}xdx=\frac{x^2}{2}{\ln }^{2}x-(\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4})+C$ Итоговый результат: $\int x{\ln }^{2}xdx=\frac{x^2}{2}{\ln }^{2}x-\frac{x^2}{2}\ln x+\frac{x^2}{4}+C$ 2. Проверка дифференцированием Чтобы проверить правильность, найдем производную полученного выражения: $\frac{d}{dx}(\frac{x^2}{2}{\ln }^{2}x-\frac{x^2}{2}\ln x+\frac{x^2}{4}+C)$ Вычисляем по частям для каждого слагаемого, используя правило произведения $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$:

1. $(\frac{x^2}{2}{\ln }^{2}x{)}^{\prime }=x{\ln }^{2}x+\frac{x^2}{2}\cdot 2\ln x\cdot \frac{1}{x}=x{\ln }^{2}x+x\ln x$ $(\frac{x^2}{2}\ln x{)}^{\prime }=x\ln x+\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}=x\ln x+\frac{x}{2}$ $(\frac{x^2}{4}{)}^{\prime }=\frac{2x}{4}=\frac{x}{2}$ $C^{\prime }=0$

Собираем все вместе: $(x{\ln }^{2}x+x\ln x)-(x\ln x+\frac{x}{2})+\frac{x}{2}=x{\ln }^{2}x+x\ln x-x\ln x-\frac{x}{2}+\frac{x}{2}=x{\ln }^{2}x$ Производная совпала с подbackward-интегральной функцией. Решение верно. Я могу также помочь с решением определенных интегралов или разбором других методов интегрирования. Хотите рассмотреть пример с заменой переменной?