Решите уравнение: 4*9^(x)+12^(x)-3*16^(x)=0

Для решения уравнения $4\cdot 9^x+{12}^x-3\cdot {16}^x=0$ воспользуемся методом приведения к однородному уравнению. 1. Преобразование основания степеней Заметим, что каждое основание можно представить через простые множители:

• $9^x=(3^2{)}^x=(3^x{)}^2$ ${16}^x=(4^2{)}^x=(4^x{)}^2$ ${12}^x=(3\cdot 4{)}^x=3^x\cdot 4^x$

Подставим эти выражения в исходное уравнение: $4\cdot (3^x{)}^2+3^x\cdot 4^x-3\cdot (4^x{)}^2=0$2. Деление на квадрат одной из функций Разделим обе части уравнения на $(4^x{)}^2$, так как $4^x$ никогда не равно нулю. Это позволит нам перейти к одной переменной: $\frac{4\cdot (3^x{)}^2}{(4^x{)}^2}+\frac{3^x\cdot 4^x}{(4^x{)}^2}-\frac{3\cdot (4^x{)}^2}{(4^x{)}^2}=0$ Упростим полученные дроби: $4\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{2x}+{\left(\frac{3}{4}\right)}^x-3=0$ 3. Введение новой переменной Пусть $t={\left(\frac{3}{4}\right)}^x$ . Учитывая свойства показательной функции, $t>0$. Теперь уравнение принимает вид квадратного: $4t^2+t-3=0$4. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант $D$: $D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 4\cdot \left(-3\right)=1+48=49$Вычислим корни $t$:

• $t_1=\frac{-1+\sqrt{49}}{2\cdot 4}=\frac{-1+7}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ $t_2=\frac{-1-\sqrt{49}}{2\cdot 4}=\frac{-1-7}{8}=-1$

Так как по условию замены $t>0$, корень $t_2=-1$ является посторонним и не подходит. 5. Обратная замена Вернемся к переменной $x$, используя подходящий корень $t_1$: ${\left(\frac{3}{4}\right)}^x=\frac{3}{4}$ Так как $\frac{3}{4}={\left(\frac{3}{4}\right)}^1$ , то: $x=1$Ответ: $1$ Я могу также разобрать для вас другие типы показательных уравнений или помочь с проверкой решения аналогичных задач. Хотите рассмотреть пример с логарифмированием?