Хn=n/n+1 докажите что последовательность возрастающая

Для того чтобы доказать, что последовательность $X_n=\frac{n}{n+1}$ является возрастающей, необходимо показать, что каждый последующий член последовательности больше предыдущего. То есть должно выполняться неравенство: $X_{n+1}>X_n$1. Определение членов последовательности Запишем выражения для $n$-го и $(n+1)$-го членов:

• $X_n=\frac{n}{n+1}$ $X_{n+1}=\frac{n+1}{(n+1)+1}=\frac{n+1}{n+2}$

2. Составление разности Рассмотрим разность $X_{n+1}-X_n$. Если эта разность окажется положительной для любого натурального $n$, то последовательность возрастает. $X_{n+1}-X_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}$ Приведем дроби к общему знаменателю $(n+2)(n+1)$: $X_{n+1}-X_n=\frac{(n+1)(n+1)-n(n+2)}{(n+2)(n+1)}$ 3. Упрощение выражения Раскроем скобки в числителе:

• $(n+1{)}^2=n^2+2n+1$ $n(n+2)=n^2+2n$

Подставим полученные значения: $\frac{n^2+2n+1-(n^2+2n)}{(n+2)(n+1)}=\frac{n^2+2n+1-n^2-2n}{(n+2)(n+1)}=\frac{1}{(n+2)(n+1)}$ 4. Анализ результата Поскольку номер члена последовательности $n$ всегда является натуральным числом ( $n\ge 1$), то:

• Числитель равен 1 (положительное число).
• Знаменатель $(n+2)(n+1)$ всегда положителен, так как $n\ge 1$.

Следовательно, вся дробь всегда больше нуля: $\frac{1}{(n+2)(n+1)}>0$ Вывод Так как $X_{n+1}-X_n>0$, это означает, что $X_{n+1}>X_n$ для всех $n$. Следовательно, последовательность $X_n=\frac{n}{n+1}$ является строго возрастающей. Я могу также вычислить предел этой последовательности при $n\infty$ или проверить её на ограниченность. Хотите, чтобы я это сделал?