Y = x2-9 / x2-4 найти промежутки законопостоянства функции

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции $f\left(x\right)=\frac{x^2-9}{x^2-4}$ необходимо определить, при каких значениях $x$ выражение больше нуля, а при каких — меньше. 1. Область определения функции Функция не определена в точках, где знаменатель равен нулю: $x^2-4=0⟹(x-2)(x+2)=0$Критические точки знаменателя: $x=2$ и $x=-2$. В этих точках график функции имеет вертикальные асимптоты. 2. Нули функции Функция равна нулю, когда числитель равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю): $x^2-9=0⟹(x-3)(x+3)=0$Нули функции: $x=3$ и $x=-3$. 3. Метод интервалов Разложим числитель и знаменатель на множители для удобства анализа: $f\left(x\right)=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}$ Отметим все найденные точки ( $-3,-2,2,3$) на числовой прямой. Они разбивают область определения на пять интервалов. Определим знак функции на каждом из них, подставив пробное значение:

4. Итоговые промежутки знакопостоянства

• Функция положительна ( $f\left(x\right)>0$):
  $x\in (-\infty ,-3)\cup (-2,2)\cup (3,+\infty )$ Функция отрицательна ( $f\left(x\right)<0$):
  $x\in (-3,-2)\cup (2,3)$

Следующим шагом я могу исследовать эту функцию на наличие экстремумов или построить схематичный график.