Записать нормальное уравнение прямой равноудалённой от прямых 2x-y+5=0 и -4x+2y+5=0

Чтобы найти нормальное уравнение прямой, равноудаленной от двух данных параллельных прямых, необходимо сначала привести их уравнения к общему виду, найти уравнение срединной прямой, а затем нормировать его. 1. Приведение уравнений к сонаправленному виду Даны уравнения прямых:

1. $L_1:2x-y+5=0$ $L_2:-4x+2y+5=0$

Заметим, что коэффициенты при переменных во втором уравнении пропорциональны коэффициентам в первом (с коэффициентом $-2$). Разделим второе уравнение на $-2$, чтобы векторы нормалей стали идентичными: $2x-y-2.5=0$Теперь имеем две параллельные прямые в виде $Ax+By+C=0$:

• $L_1:2x-y+5=0$ $L_2:2x-y-2.5=0$

2. Поиск уравнения срединной прямой Искомая прямая $L$ параллельна данным и проходит ровно посередине между ними. Ее уравнение имеет вид $Ax+By+C_{mid}=0$, где свободный член $C_{mid}$ является средним арифметическим свободных членов $C_1$ и $C_2$: $C_{mid}=\frac{C_1+C_2}{2}=\frac{5+\left(-2.5\right)}{2}=\frac{2.5}{2}=1.25$ Общее уравнение искомой прямой: $2x-y+1.25=0$3. Приведение к нормальному виду Нормальное уравнение прямой имеет вид $x\cos \alpha +y\sin \alpha -p=0$. Чтобы его получить, нужно умножить общее уравнение на нормирующий множитель $\mu$: $\mu =\frac{\pm 1}{\sqrt{A^2+B^2}}$

1. Вычисляем знаменатель: $\sqrt{2^2+(-1{)}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$ . Выбираем знак $\mu$: он должен быть противоположен знаку свободного члена $C_{mid}=1.25$, чтобы расстояние $p$ было положительным. Следовательно, $\mu =-\frac{1}{\sqrt{5}}$ .

Умножаем общее уравнение на $\mu$: $-\frac{2}{\sqrt{5}}x+\frac{1}{\sqrt{5}}y-\frac{1.25}{\sqrt{5}}=0$ 4. Окончательный результат Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе (умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$ ): $-\frac{2\sqrt{5}}{5}x+\frac{\sqrt{5}}{5}y-\frac{1.25\sqrt{5}}{5}=0$ Учитывая, что $1.25/5=0.25=1/4$: $-\frac{2\sqrt{5}}{5}x+\frac{\sqrt{5}}{5}y-\frac{\sqrt{5}}{4}=0$ Ответ: Нормальное уравнение прямой: $-\frac{2}{\sqrt{5}}x+\frac{1}{\sqrt{5}}y-\frac{\sqrt{5}}{4}=0$ Я могу также рассчитать расстояние между этими параллельными прямыми, если это необходимо для вашей задачи.