(2-3i/1+2i)^12 решение комплексных чисел

Для решения данного выражения возведем комплексное число в степень, предварительно упростив основание. 1. Упрощение выражения внутри скобок Чтобы разделить комплексные числа, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число $(1-2i)$: $z=\frac{2-3i}{1+2i}=\frac{(2-3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$ Выполним умножение в числителе: $(2-3i)(1-2i)=2-4i-3i+6i^2$Так как $i^2=-1$: $2-7i-6=-4-7i$Выполним умножение в знаменателе: $(1+2i)(1-2i)=1^2-(2i{)}^2=1-(-4)=5$Таким образом: $z=\frac{-4-7i}{5}=-0.8-1.4i$ 2. Перевод в тригонометрическую форму Для возведения в 12-ю степень воспользуемся формулой Муавра. Найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$ числа $z$:

• Модуль:
  $r=\sqrt{(-0.8{)}^2+(-1.4{)}^2}=\sqrt{0.64+1.96}=\sqrt{2.6}$ Аргумент:
  Число находится в III четверти.
  $\varphi =\pi +\arctan \left(\frac{-1.4}{-0.8}\right)=\pi +\arctan \left(1.75\right)$

3. Возведение в 12-ю степень По формуле Муавра $z^n=r^n\left(\cos \right(n\varphi )+i\sin (n\varphi \left)\right)$:

1. Модуль результата:
   $R=(\sqrt{2.6}{)}^{12}=(2.6{)}^6=308.915776$ Аргумент результата:
   $\Phi =12\cdot (\pi +\arctan (1.75\left)\right)=12\pi +12\arctan \left(1.75\right)$Так как $12\pi$ — это полные обороты, их можно отбросить:
   $\Phi =12\arctan \left(1.75\right)$

Вычислим значение $\arctan \left(1.75\right)\approx 1.05165$ радиан: $\Phi \approx 12\cdot 1.05165=12.6198\text{рад}$Приведем к главному значению (вычтем $4\pi \approx 12.566$): $\Phi \approx 0.0538\text{рад}$4. Окончательный расчет $z^{12}=308.915776\cdot \left(\cos \right(12.6198)+i\sin (12.6198\left)\right)$Используя численные значения: $\cos \left(12.6198\right)\approx 0.9985$ $\sin \left(12.6198\right)\approx 0.0538$ $z^{12}\approx 308.915776\cdot (0.9985+0.0538i)$ $z^{12}\approx 308.45+16.62i$Ответ: Точное значение выражается как $\left(2.6{)}^6\right(\cos \left(12\arctan 1.75\right)+i\sin \left(12\arctan 1.75\right))$, что примерно равно $308.45+16.62i$. Я могу пересчитать это значение с использованием другой формы записи (например, через экспоненту), если вам это потребуется.