1) в треугольной усеченной пирамиде с высотой,равной 10,стороны одного из оснований 27,29,52. определить объем усеченной пирамиды, если периметр другого основания равен 72. 2)в правильной усеченной четырехугольной пирамиде диагональ равна 18, длина стороны нижнего основания равна 14, длина стороны верхнего основани равна 10.найти объем усеч. пирамиды.

Question

1) в треугольной усеченной пирамиде с высотой,равной 10,стороны одного из оснований 27,29,52. определить объем усеченной пирамиды, если периметр другого основания равен 72. 2)в правильной усеченной четырехугольной пирамиде диагональ равна 18, длина стороны нижнего основания равна 14, длина стороны верхнего основани равна 10.найти объем усеч. пирамиды.

Рубин142 03.03.2026 15:49

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Объем первой усеченной пирамиды равен 1900, объем второй усеченной пирамиды равен 872. ️ Шаг 1: Вычисление объема треугольной усеченной пирамиды Для нахождения объема усеченной пирамиды используется формула $V = \frac{1}{3} h (S_{1} + S_{2} + \sqrt{S_{1} S_{2}}) cap V equals one-third h of open paren cap S sub 1 plus cap S sub 2 plus the square root of cap S sub 1 cap S sub 2 end-root close paren$ , где $S_{1} cap S sub 1$ и $S_{2} cap S sub 2$ — площади оснований.

Найдем площадь нижнего основания ( $S_{1} cap S sub 1$ ):
Стороны равны 27, 29, 52. Полупериметр $p_{1} = \frac{27 + 29 + 52}{2} = 54 p sub 1 equals the fraction with numerator 27 plus 29 plus 52 and denominator 2 end-fraction equals 54$ . По формуле Герона:
$S_{1} = \sqrt{54 (54 - 27) (54 - 29) (54 - 52)} = \sqrt{54 \cdot 27 \cdot 25 \cdot 2} = \sqrt{72900} = 270 cap S sub 1 equals the square root of 54 open paren 54 minus 27 close paren open paren 54 minus 29 close paren open paren 54 minus 52 close paren end-root equals the square root of 54 center dot 27 center dot 25 center dot 2 end-root equals the square root of 72900 end-root equals 270$ Найдем площадь верхнего основания ( $S_{2} cap S sub 2$ ):
Основания подобны. Коэффициент подобия $k k$ равен отношению периметров. Периметр первого основания $P_{1} = 108 cap P sub 1 equals 108$ , второго $P_{2} = 72 cap P sub 2 equals 72$ .
$k = \frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{72}{108} = \frac{2}{3} k equals the fraction with numerator cap P sub 2 and denominator cap P sub 1 end-fraction equals 72 over 108 end-fraction equals two-thirds$ Отношение площадей равно $k^{2} k squared$ , следовательно:
$S_{2} = S_{1} \cdot k^{2} = 270 \cdot (\frac{2}{3})^{2} = 270 \cdot \frac{4}{9} = 120 cap S sub 2 equals cap S sub 1 center dot k squared equals 270 center dot open paren two-thirds close paren squared equals 270 center dot four-nineths equals 120$ Вычислим объем ( $V cap V$ ):
$V = \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot (270 + 120 + \sqrt{270 \cdot 120}) = \frac{10}{3} \cdot (390 + 180) = \frac{10 \cdot 570}{3} = 1900 cap V equals one-third center dot 10 center dot open paren 270 plus 120 plus the square root of 270 center dot 120 end-root close paren equals ten-thirds center dot open paren 390 plus 180 close paren equals the fraction with numerator 10 center dot 570 and denominator 3 end-fraction equals 1900$

️ Шаг 2: Вычисление объема правильной четырехугольной усеченной пирамиды

Найдем площади оснований:
Нижнее основание — квадрат со стороной $a = 14 a equals 14$ , $S_{1} = 14^{2} = 196 cap S sub 1 equals 14 squared equals 196$ .
Верхнее основание — квадрат со стороной $b = 10 b equals 10$ , $S_{2} = 10^{2} = 100 cap S sub 2 equals 10 squared equals 100$ . Найдем высоту пирамиды ( $h h$ ):
Рассмотрим диагональное сечение пирамиды (равнобедренная трапеция). Основания трапеции — диагонали квадратов: $d_{1} = 14 \sqrt{2} d sub 1 equals 14 the square root of 2 end-root$ и $d_{2} = 10 \sqrt{2} d sub 2 equals 10 the square root of 2 end-root$ . Диагональ трапеции $d = 18 d equals 18$ .
Проекция диагонали на большее основание равна $x = \frac{d_{1} + d_{2}}{2} = \frac{14 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2}}{2} = 12 \sqrt{2} x equals the fraction with numerator d sub 1 plus d sub 2 and denominator 2 end-fraction equals the fraction with numerator 14 the square root of 2 end-root plus 10 the square root of 2 end-root and denominator 2 end-fraction equals 12 the square root of 2 end-root$ .
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
$h = \sqrt{d^{2} - x^{2}} = \sqrt{18^{2} - (12 \sqrt{2})^{2}} = \sqrt{324 - 288} = \sqrt{36} = 6 h equals the square root of d squared minus x squared end-root equals the square root of 18 squared minus open paren 12 the square root of 2 end-root close paren squared end-root equals the square root of 324 minus 288 end-root equals the square root of 36 end-root equals 6$ Вычислим объем ( $V cap V$ ):
$V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot (196 + 100 + \sqrt{196 \cdot 100}) = 2 \cdot (296 + 140) = 2 \cdot 436 = 872 cap V equals one-third center dot 6 center dot open paren 196 plus 100 plus the square root of 196 center dot 100 end-root close paren equals 2 center dot open paren 296 plus 140 close paren equals 2 center dot 436 equals 872$

Ответ:

Объем первой пирамиды: 1900; 2) Объем второй пирамиды: 872.

Нужны ли вам чертежи диагональных сечений или расчеты для других типов многогранников?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов