1)интеграл dx/1+в корне x2)интеграл (tgx+2tg2x +4tg4x+8tg8x)dx3)интеграл (tg^2)x*(sec^2)dx

Результатами вычисления данных интегралов являются следующие выражения:

1. $\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{2}\ln \mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{C}$ $\ln \left|\frac{\sin \mathbf{x}}{\sin 16\mathbf{x}}\right|\mathbf{+}\mathbf{C}$ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}{\tan }^{\mathbf{3}}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{C}$

️ Шаг 1: Интегрирование первой функции методом подстановки Для решения интеграла $\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}}$ введем замену переменной $u=\sqrt{x}$ . Тогда $x=u^2$, а дифференциал $dx=2udu$. Подставим эти значения в исходное выражение: $\int \frac{2u}{1+u}du$ Разделим числитель на знаменатель, представив $2u$ как $2(u+1-1)$: $2\int (1-\frac{1}{u+1})du=2(u-\ln |u+1\left|\right)+C$ Возвращаясь к исходной переменной $x$, получаем: $2\sqrt{x}-2\ln (1+\sqrt{x})+C$ . ️ Шаг 2: Использование тригонометрических тождеств для второй функции Заметим, что для любого угла $\alpha$ справедливо тождество $\tan \alpha =\cot \alpha -2\cot 2\alpha$. Применим его последовательно к каждому слагаемому суммы $\tan x+2\tan 2x+4\tan 4x+8\tan 8x$:

• $\tan x=\cot x-2\cot 2x$ $2\tan 2x=2(\cot 2x-2\cot 4x)=2\cot 2x-4\cot 4x$ $4\tan 4x=4\cot 4x-8\cot 8x$ $8\tan 8x=8\cot 8x-16\cot 16x$
  Складывая эти выражения, мы получаем телескопическую сумму, где промежуточные члены сокращаются:
  $\tan x+2\tan 2x+4\tan 4x+8\tan 8x=\cot x-16\cot 16x$Интегрируем полученный результат:
  $\int (\cot x-16\cot 16x)dx=\ln \left|\sin x\right|-16\cdot \frac{1}{16}\ln \left|\sin 16x\right|+C=\ln \left|\frac{\sin x}{\sin 16x}\right|+C$

️ Шаг 3: Нахождение первообразной для третьей функции В интеграле $\int {\tan }^{2}x{\sec }^{2}xdx$ заметим, что ${\sec }^{2}x$ является производной функции $\tan x$. Выполним замену $u=\tan x$, тогда $du={\sec }^{2}xdx$: $\int u^{2}du=\frac{u^3}{3}+C$ Подставляя $u=\tan x$ обратно, получаем: $\frac{1}{3}{\tan }^{3}x+C$ . Ответ:

1. $\int \frac{\mathbf{d}\mathbf{x}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{x}}}\mathbf{=}\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{2}\ln \mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{C}$ $\int \mathbf{(}\tan \mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\tan \mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{4}\tan \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{8}\tan \mathbf{8}\mathbf{x}\mathbf{)}\mathbf{d}\mathbf{x}\mathbf{=}\ln \left|\frac{\sin \mathbf{x}}{\sin 16\mathbf{x}}\right|\mathbf{+}\mathbf{C}$ $\int {\tan }^{\mathbf{2}}\mathbf{x}{\sec }^{\mathbf{2}}\mathbf{x}\mathbf{d}\mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}{\tan }^{\mathbf{3}}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{C}$

Нужно ли вам пошаговое доказательство тригонометрического тождества, использованного во втором примере?