1.найдите значениевыражений: a) sin58*cos13* - cos 58*sin13* b) cos pi/12 cos 7pi/12- sin pi/12sin 7pi/12 2.упростите выражение: a) cos(t-s) - sin t sin s b) 1/2 cos a(альфа) - sin (pi/6 + a(альфа) ). 3.докажите тождество sin (a(альфа) - b(бета) ) + sin ( a - b ) = 2sin a cos b . 4.решить уравнение sin 3x cos x + cos 3x sin x = 0. 5. зная, что sin a(альфа) = - 12/13, pi < a < 3pi/2, найдите tg (pi/4 - a). 6.известно,что cos (pi/4 + t) +cos (pi/4 - t) = p найдите cos (pi/4 + t ) cos (pi/4 - t).

1. a) $\frac{\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$ ; b) $\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ . 2. a) $\cos \mathbf{t}\cos \mathbf{s}$; b) $\mathbf{-}\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\sin \mathbf{\alpha }$ . 3. $\mathbf{2}\sin \mathbf{\alpha }\cos \mathbf{\beta }$. 4. $\mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }\mathbf{k}}{\mathbf{4}}\mathbf{,}\mathbf{k}\mathbf{\in }\mathbb{Z}$ . 5. $\mathbf{-}\frac{\mathbf{7}}{17}$ . 6. $\frac{{\mathbf{p}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ .

️ Шаг 1: Вычисление значений тригонометрических выражений Используем формулы синуса разности $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$ и косинуса суммы $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$. а) $\sin {58}^{\circ }\cos {13}^{\circ }-\cos {58}^{\circ }\sin {13}^{\circ }=\sin ({58}^{\circ }-{13}^{\circ })=\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ . б) $\cos \frac{\pi }{12}\cos \frac{7\pi }{12}-\sin \frac{\pi }{12}\sin \frac{7\pi }{12}=\cos (\frac{\pi }{12}+\frac{7\pi }{12})=\cos \frac{8\pi }{12}=\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ . ️ Шаг 2: Упрощение выражений Применяем формулы сложения углов. а) $\cos (t-s)-\sin t\sin s=(\cos t\cos s+\sin t\sin s)-\sin t\sin s=\cos t\cos s$. б) $\frac{1}{2}\cos \alpha -\sin (\frac{\pi }{6}+\alpha )=\frac{1}{2}\cos \alpha -(\sin \frac{\pi }{6}\cos \alpha +\cos \frac{\pi }{6}\sin \alpha )=\frac{1}{2}\cos \alpha -(\frac{1}{2}\cos \alpha +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha )=-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha$ . ️ Шаг 3: Доказательство тождества В условии задачи допущена опечатка (левая часть должна содержать сумму аргументов). Докажем тождество $\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=2\sin \alpha \cos \beta$: Раскроем синусы суммы и разности: $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$ Складывая эти выражения, получим: $(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )+(\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta )=2\sin \alpha \cos \beta$. ️ Шаг 4: Решение уравнения Применим формулу синуса суммы $\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\sin (\alpha +\beta )$: $\sin 3x\cos x+\cos 3x\sin x=0⟹\sin (3x+x)=0⟹\sin 4x=0$. $4x=\pi k,k\in \mathbb{Z}⟹x=\frac{\pi k}{4},k\in \mathbb{Z}$ . ️ Шаг 5: Нахождение тангенса разности Дано $\sin \alpha =-\frac{12}{13}$ и $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ (3-я четверть, где $\cos \alpha <0$).

1. Найдем $\cos \alpha$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{144}{169}}=-\sqrt{\frac{25}{169}}=-\frac{5}{13}$ . Вычислим $\tan \alpha$: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-12/13}{-5/13}=\frac{12}{5}=2,4$ . Найдем $\tan (\frac{\pi }{4}-\alpha )$ :
   $\tan (\frac{\pi }{4}-\alpha )=\frac{\tan \frac{\pi }{4}-\tan \alpha }{1+\tan \frac{\pi }{4}\tan \alpha }=\frac{1-2,4}{1+1\cdot 2,4}=\frac{-1,4}{3,4}=-\frac{14}{34}=-\frac{7}{17}$ .

️ Шаг 6: Нахождение произведения косинусов Используем формулу суммы косинусов: $\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$ . Здесь $A=\frac{\pi }{4}+t$ , $B=\frac{\pi }{4}-t$ . Тогда $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{4}$ и $\frac{A-B}{2}=t$ . $p=2\cos \frac{\pi }{4}\cos t=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cos t=\sqrt{2}\cos t⟹\cos t=\frac{p}{\sqrt{2}}$ . Теперь найдем произведение: $\cos (\frac{\pi }{4}+t)\cos (\frac{\pi }{4}-t)=\frac{1}{2}\left(\cos \right(A+B)+\cos (A-B\left)\right)=\frac{1}{2}(\cos \frac{\pi }{2}+\cos 2t)=\frac{1}{2}(0+\cos 2t)=\frac{1}{2}\cos 2t$ . Так как $\cos 2t=2{\cos }^{2}t-1$, подставим значение $\cos t$: $\frac{1}{2}\left(2\right(\frac{p}{\sqrt{2}}{)}^2-1)=\frac{1}{2}(2\cdot \frac{p^2}{2}-1)=\frac{p^2-1}{2}$ . Ответ:

1. а) $\frac{\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$ ; б) $\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ . а) $\cos \mathbf{t}\cos \mathbf{s}$; б) $\mathbf{-}\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\sin \mathbf{\alpha }$ . Тождество доказано: $\mathbf{2}\sin \mathbf{\alpha }\cos \mathbf{\beta }\mathbf{=}\mathbf{2}\sin \mathbf{\alpha }\cos \mathbf{\beta }$. $\mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }\mathbf{k}}{\mathbf{4}}\mathbf{,}\mathbf{k}\mathbf{\in }\mathbb{Z}$ . $\mathbf{-}\frac{\mathbf{7}}{17}$ . $\frac{{\mathbf{p}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ .

Проверьте, верно ли записано условие в третьем задании, так как в исходном тексте аргументы функций были идентичны.