Мышь бегает со скоростью 1 м/с, она бежит от кошки на расстоянии 10м. кошка бежит в сторону мышки со скоростью 2м/с. найти траекторию движения кошки при движении ее за мышкой и уравнение скорости. у кошки и мышки скорости постоянны

Траектория движения кошки описывается кривой погони, уравнение которой в декартовых координатах при условии движения мышки вдоль оси $Oy$ и старта кошки из точки $(10,0)$ имеет вид: $y\left(x\right)=\frac{20}{3}-10\sqrt{\frac{x}{10}}+\frac{10}{3}{\left(\frac{x}{10}\right)}^{1.5}$ . ️ Шаг 1: Постановка дифференциального уравнения Пусть мышь движется по оси $Oy$ со скоростью $v_m=1$ м/с, её координаты $M(0,v_{m}t)$. Кошка начинает движение из точки $(10,0)$ со скоростью $v_k=2$ м/с. В любой момент времени вектор скорости кошки направлен на мышь. Это дает уравнение: $\frac{dy}{dx}=\frac{y-v_{m}t}{x}$ Дифференцируя по $x$ и используя связь пройденного пути со временем ( $ds=v_{k}dt$), получаем уравнение: $x\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{v_m}{v_k}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}$ Введем коэффициент отношения скоростей $k=\frac{v_m}{v_k}=\frac{1}{2}=0.5$ . ️ Шаг 2: Решение уравнения траектории Решая полученное уравнение второго порядка с начальными условиями $x=10,y=0,y^{\prime }=0$, получаем зависимость производной: $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}[{\left(\frac{x}{10}\right)}^{-k}-{\left(\frac{x}{10}\right)}^k]$ Интегрируя по $x$, находим уравнение траектории: $y\left(x\right)=\frac{10}{2}[\frac{1}{1-k}{\left(\frac{x}{10}\right)}^{1-k}-\frac{1}{1+k}{\left(\frac{x}{10}\right)}^{1+k}]+C$ Подставляя $k=0.5$ и условие $y\left(10\right)=0$, находим константу $C=\frac{20}{3}$ . Итоговое уравнение: $y\left(x\right)=\frac{20}{3}-10\sqrt{\frac{x}{10}}+\frac{10}{3}{\left(\frac{x}{10}\right)}^{1.5}$ ️ Шаг 3: Определение уравнения скорости Так как модуль скорости кошки постоянен ( $v_k=2$), вектор скорости $\vec{v}$ в любой точке определяется углом наклона касательной $\alpha$, где $\tan \alpha =y^{\prime }\left(x\right)$: $v_x=-v_k\cos \alpha =-\frac{v_k}{\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}}$ $v_y=v_k\sin \alpha =\frac{v_k{y}^{\prime }}{\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}}$ Подставляя $y^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2}(\sqrt{\frac{10}{x}}-\sqrt{\frac{x}{10}})$ , получаем компоненты скорости как функции координаты $x$. Ответ: Траектория кошки: $y\left(x\right)=\frac{20}{3}-10\sqrt{\frac{x}{10}}+\frac{10}{3}{\left(\frac{x}{10}\right)}^{1.5}$ Уравнение скорости: $\vec{v}=(\frac{-4}{\frac{10}{x}+\frac{x}{10}+2},\frac{2(\frac{10}{x}-\frac{x}{10})}{\frac{10}{x}+\frac{x}{10}+2})$ (в проекциях на оси $x$ и $y$). Кошка поймает мышь в точке $(0;6.67)$ через $6.67$ секунд. Хотите рассчитать время и точку встречи, если мышь начнет бежать под углом к кошке?