27^log 3 2+log 18 2+2 log 18 3 найти значение выражения

Значение выражения ${27}^{{\log }_{3}2+{\log }_{18}2+2{\log }_{18}3}$ равно 216. Шаг 1: Упрощение логарифмов с одинаковым основанием Для начала упростим вторую часть показателя степени: ${\log }_{18}2+2{\log }_{18}3$. Используем свойство логарифма степени $k{\log }_{a}b={\log }_a{b}^k$: $2{\log }_{18}3={\log }_{18}{3}^2={\log }_{18}9$Теперь применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(b\cdot c)$: ${\log }_{18}2+{\log }_{18}9={\log }_{18}(2\cdot 9)={\log }_{18}18$Так как логарифм числа по тому же основанию равен единице ( ${\log }_{a}a=1$): ${\log }_{18}18=1$Шаг 2: Подстановка упрощенного значения в показатель Теперь исходное выражение принимает вид: ${27}^{{\log }_{3}2+1}$Представим число 27 как степень с основанием 3, то есть $27=3^3$: $(3^3{)}^{{\log }_{3}2+1}$Шаг 3: Применение свойств степени и логарифмического тождества При возведении степени в степень показатели перемножаются: $3^{3({\log }_{3}2+1)}=3^{3{\log }_{3}2+3}$Используем свойство $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$: $3^{3{\log }_{3}2}\cdot 3^3=3^{{\log }_3{2}^3}\cdot 27$По основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}x}=x$: $2^3\cdot 27=8\cdot 27$Шаг 4: Финальное вычисление Произведем умножение: $8\cdot 27=216$Ответ: 216 Нужно ли вам разобрать решение аналогичных примеров с использованием других свойств логарифмов, например, переходом к новому основанию?