2x^2-11x=15 решить десятью спосабами

Для решения уравнения $2x^2-11x-15=0$ воспользуемся различными алгебраическими и графическими методами. 1. Метод через дискриминант (Классический) Уравнение вида $a{x}^2+bx+c=0$, где $a=2,b=-11,c=-15$.

1. Вычисляем дискриминант: $D=b^2-4ac$
   $D=(-11{)}^2-4\cdot 2\cdot (-15)=121+120=241$ Находим корни: $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$
   $x_1=\frac{11+\sqrt{241}}{4},x_2=\frac{11-\sqrt{241}}{4}$

2. Метод разложения на множители (Группировка) Необходимо найти такие числа, произведение которых равно $a\cdot c=-30$, а сумма $b=-11$. Поскольку дискриминант не является полным квадратом ( $\sqrt{241}$ — иррациональное число), разложение рациональными числами невозможно. В общем виде разложение выглядит так: $2(x-\frac{11+\sqrt{241}}{4})(x-\frac{11-\sqrt{241}}{4})=0$ 3. Выделение полного квадрата

1. Разделим на 2: $x^2-5.5x-7.5=0$ Перенесем константу: $x^2-5.5x=7.5$ Добавим $(\frac{5.5}{2}{)}^2=7.5625$ к обеим частям:
   $x^2-5.5x+7.5625=7.5+7.5625$ $(x-2.75{)}^2=15.0625$ Извлекаем корень: $x-2.75=\pm \sqrt{15.0625}x=2.75\pm \frac{\sqrt{241}}{4}$

4. Теорема Виета (для приведенного уравнения) Для уравнения $x^2-5.5x-7.5=0$:

• $x_1+x_2=5.5$ $x_1\cdot x_2=-7.5$
  Решением системы являются те же значения $x=\frac{11\pm \sqrt{241}}{4}$ .

5. Графический метод (Пересечение параболы и оси X)

1. Построим функцию $y=2x^2-11x-15$. Найдем точки пересечения с осью $Ox$ ( $y=0$). Вершина параболы: $x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{11}{4}=2.75$ . Точки пересечения будут примерно в районах $x\approx 6.63$ и $x\approx -1.13$.

6. Графический метод (Пересечение двух функций) Преобразуем уравнение к виду $2x^2=11x+15$.

1. Строим график $y_1=2x^2$ (парабола). Строим график $y_2=11x+15$ (прямая). Абсциссы точек пересечения являются решениями уравнения.

7. Метод введения новой переменной (Замена) Пусть $x=t+2.75$ (сдвиг к вершине параболы). $2(t+2.75{)}^2-11(t+2.75)-15=0$После раскрытия скобок: $2t^2-30.125=0t^2=15.0625t=\pm \frac{\sqrt{241}}{4}$ . Возвращаемся к $x$: $x=2.75\pm \frac{\sqrt{241}}{4}$ . 8. Метод «переброски» коэффициента Перебросим $a=2$ к свободному члену: $y^2-11y-30=0$.

1. Решаем вспомогательное уравнение через $D$: $D=121-4\left(-30\right)=241$. $y=\frac{11\pm \sqrt{241}}{2}$ . Возвращаемся к $x$, деля корни на «переброшенный» коэффициент: $x=\frac{y}{2}=\frac{11\pm \sqrt{241}}{4}$ .

9. Метод численных приближений (Метод Ньютона) Задаем функцию $f\left(x\right)=2x^2-11x-15$ и её производную $f^{\prime }\left(x\right)=4x-11$. Используем итерационную формулу: $x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime }\left(x_n\right)}$ . При выборе $x_0=7$:

• $x_1=7-\frac{98-77-15}{28-11}=7-\frac{6}{17}\approx 6.64$ (сходимость к первому корню).

10. Метод деления многочленов (Схема Горнера) Так как корни иррациональны, схема Горнера используется обычно для проверки целых или дробных корней из множества делителей числа $15$ ( $\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15$ и их доли с 2). Проверка покажет, что рациональных корней нет, что подтверждает необходимость использования формулы с радикалами. Ответ: $x_{1,2}=\frac{11\pm \sqrt{241}}{4}$ Хотите, чтобы я составил аналогичную подборку методов для другого уравнения или системы?