5 корней из7 в степени x+1=49/на корень из7

Чтобы решить уравнение $5\sqrt{7^{x+1}}=\frac{49}{\sqrt{7}}$ , приведем обе части выражения к единому основанию — числу 7. 1. Преобразование уравнения Для начала воспользуемся свойствами степеней:

• Корень n-ой степени: $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$ Дробь: $\frac{1}{a^n}=a^{-n}$ Число 49: $49=7^2$

Перепишем уравнение, заменяя корни и числа степенями с основанием 7: $5\cdot (7^{x+1}{)}^{1/2}=\frac{7^2}{7^{1/2}}$

Примечание: Если в условии «5 корней» означает коэффициент $5$, уравнение решается через логарифмирование. Однако в школьной программе такие задачи чаще подразумевают, что $5$ — это либо опечатка, либо корень пятой степени. Исходя из структуры, решим это как стандартное показательное уравнение, оставив коэффициент как есть.

2. Упрощение левой и правой частей При возведении степени в степень показатели перемножаются: $5\cdot 7^{\frac{x+1}{2}}=7^{2-1/2}$ $5\cdot 7^{\frac{x+1}{2}}=7^{1.5}$ Разделим обе части на 5: $7^{\frac{x+1}{2}}=\frac{7^{1.5}}{5}$ 3. Логарифмирование Так как основания в левой и правой частях не равны (из-за пятерки), возьмем логарифм по основанию 7 от обеих сторон: ${\log }_7\left(7^{\frac{x+1}{2}}\right)={\log }_7\left(\frac{7^{1.5}}{5}\right)$ Используя свойства логарифма ${\log }_a(b/c)={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$: $\frac{x+1}{2}={\log }_7\left(7^{1.5}\right)-{\log }_{7}5$ $\frac{x+1}{2}=1.5-{\log }_{7}5$ 4. Нахождение x Умножим все уравнение на 2: $x+1=3-2{\log }_{7}5$Перенесем единицу в правую часть: $x=3-1-2{\log }_{7}5$ $x=2-2{\log }_{7}5$Используя свойство $n\log a=\log a^n$, ответ можно записать компактнее: $x=2-{\log }_{7}25$Ответ: $x=2-{\log }_{7}25$ Если вам нужно, я могу вычислить приблизительное десятичное значение этого логарифма.