Приведенный квадратный трехчлен f(x) имеет 2 различных корня. может ли так оказаться, что уравнение f(f(x)) = 0 имеет 3 различных корня, а уравнение f(f(f(x))) = 0 — 7 различных корней?

Да, такая ситуация невозможна. ️ Шаг 1: Анализ корней уравнения $f\left(f\right(x\left)\right)=0$ Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трехчлена $f\left(x\right)$. Тогда уравнение $f\left(f\right(x\left)\right)=0$ равносильно совокупности уравнений:

1. $f\left(x\right)=x_1$ $f\left(x\right)=x_2$

Поскольку $f\left(x\right)$ — приведенный квадратный трехчлен, график $y=f\left(x\right)$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Обозначим значение в вершине параболы через $y_{min}$. Уравнение $f\left(x\right)=a$ может иметь 2, 1 или 0 корней в зависимости от того, больше ли $a$ значения $y_{min}$, равно или меньше. Для того чтобы совокупность имела ровно 3 различных корня, одно из уравнений должно иметь 2 корня, а другое — ровно 1 корень (вершину). Это означает, что меньший корень трехчлена совпадает с ординатой вершины: $x_1=y_{min}$ (так как $x_1<x_2$). В этом случае корни $f\left(f\right(x\left)\right)=0$ образуют множество $S_1=\{z_1,z_2,z_3\}$, где $z_1$ — абсцисса вершины ( $f\left(z_1\right)=x_1$), а $z_2,z_3$ — корни уравнения $f\left(x\right)=x_2$. ️ Шаг 2: Анализ корней уравнения $f\left(f\right(f\left(x\right)\left)\right)=0$ Уравнение $f\left(f\right(f\left(x\right)\left)\right)=0$ равносильно тому, что $f\left(x\right)$ принимает значения, являющиеся корнями $f\left(f\right(x\left)\right)=0$. То есть: $f\left(x\right)=z_1,f\left(x\right)=z_2,f\left(x\right)=z_3$Каждое из этих трех квадратных уравнений может иметь не более 2 корней. Следовательно, максимальное общее количество различных корней для всей совокупности равно: $3\times 2=6$Число 7 превышает максимально возможное количество корней для композиции трех квадратичных функций при условии, что на предыдущем этапе их было 3. Даже если бы все $z_i$ были больше $y_{min}$, мы получили бы максимум 6 корней. Ответ: Нет, не может. Для того чтобы уравнение $f\left(f\right(x\left)\right)=0$ имело 3 корня, один из корней $f\left(x\right)$ должен быть равен минимуму функции. В этом случае уравнение $f\left(f\right(f\left(x\right)\left)\right)=0$ распадается на 3 квадратных уравнения, которые в сумме могут дать не более 6 различных корней. Хотите разобрать, какое максимальное количество корней может иметь уравнение вида $f\left(f\right(f\left(x\right)\left)\right)=0$ для произвольного квадратного трехчлена?