3lg∛х =lg(3x-4) log5(3x-11)+log5(x-27)=3+log58

Ниже представлено подробное решение двух предложенных логарифмических уравнений. Решение первого уравнения $3\lg \sqrt[3]{x}=\lg (3x-4)$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

• $\sqrt[3]{x}>0x>0$ $3x-4>0x>\frac{4}{3}$
  Итоговое ОДЗ: $x>1.33\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$

2. Упрощение и решение Используем свойство степени логарифма $n{\log }_{a}b={\log }_a{b}^n$: $\lg {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^3=\lg (3x-4)$ $\lg x=\lg (3x-4)$Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы: $x=3x-4$ $2x=4$ $x=2$3. Проверка Число $2$ входит в ОДЗ ( $2>1.33$). Ответ: $2$ Решение второго уравнения ${\log }_5(3x-11)+{\log }_5(x-27)=3+{\log }_{5}8$1. Область допустимых значений (ОДЗ)

• $3x-11>0x>\frac{11}{3}\approx 3.66$ $x-27>0x>27$
  Итоговое ОДЗ: $x>27$

2. Преобразование уравнения Представим число $3$ в виде логарифма по основанию $5$: $3={\log }_5{5}^3={\log }_{5}125$. Применим свойство суммы логарифмов ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a\left(bc\right)$: ${\log }_5\left(\right(3x-11\left)\right(x-27\left)\right)={\log }_5(125\cdot 8)$ ${\log }_5(3x^2-81x-11x+297)={\log }_{5}1000$Приравниваем аргументы: $3x^2-92x+297=1000$ $3x^2-92x-703=0$3. Решение квадратного уравнения Находим дискриминант $D$: $D=(-92{)}^2-4\cdot 3\cdot (-703)=8464+8436=16900$ $\sqrt{D}=\sqrt{16900}=130$ Находим корни: $x_1=\frac{92+130}{2\cdot 3}=\frac{222}{6}=37$ $x_2=\frac{92-130}{6}=\frac{-38}{6}=-6.33\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$ 4. Проверка по ОДЗ

• $x_1=37$: входит в ОДЗ ( $37>27$). $x_2=-6.33\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$: не входит в ОДЗ (отрицательное число).

Ответ: $37$ Могу оформить решение этих уравнений в виде PDF-файла или проверить другие задачи из этой темы.