Cos x-cos 3x + sin x=0

Для решения уравнения $\cos x-\cos 3x+\sin x=0$ воспользуемся тригонометрическими формулами преобразования разности косинусов в произведение и методами разложения на множители. 1. Преобразование разности косинусов Используем формулу $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$ . Применим её к выражению $\cos x-\cos 3x$: $\cos x-\cos 3x=-2\sin \frac{x+3x}{2}\sin \frac{x-3x}{2}$ $\cos x-\cos 3x=-2\sin \left(2x\right)\sin (-x)$Так как функция синус нечётная ( $\sin (-x)=-\sin x$), получаем: $\cos x-\cos 3x=2\sin 2x\sin x$2. Подстановка в исходное уравнение Заменим разность косинусов в исходном уравнении: $2\sin 2x\sin x+\sin x=0$3. Разложение на множители Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки: $\sin x(2\sin 2x+1)=0$Это уравнение распадается на два независимых случая:

1. $\sin x=0$ $2\sin 2x+1=0⟹\sin 2x=-\frac{1}{2}$

4. Решение полученных уравнений Случай А: $\sin x=0$ Данное уравнение имеет стандартное решение: $x_1=\pi n,n\in \mathbb{Z}$Случай Б: $\sin 2x=-\frac{1}{2}$ Используем общую формулу для синуса: $2x=(-1{)}^k\arcsin (-\frac{1}{2})+\pi k$ Так как $\arcsin (-\frac{1}{2})=-\frac{\pi }{6}$ , получаем: $2x=(-1{)}^k(-\frac{\pi }{6})+\pi k$ Разделим обе части на 2: $x_2=(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{12}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}$ Примечание: Этот ответ также можно записать в виде двух отдельных серий:

1. $2x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k⟹x=-\frac{\pi }{12}+\pi k$ $2x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k⟹x=\frac{7\pi }{12}+\pi k$

Ответ: $x=\pi n;x=(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{12}+\frac{\pi k}{2};n,k\in \mathbb{Z}$ Я могу помочь с отбором корней этого уравнения на конкретном промежутке, если это необходимо.