Сколько решений в целых числах имеет уравнение x^2+y^2=6х+3у+15

Для определения количества решений уравнения в целых числах приведем его к каноническому виду уравнения окружности, выделив полные квадраты. ️ Шаг 1: Преобразование уравнения Перенесем все слагаемые с переменными в левую часть и сгруппируем их: $x^2-6x+y^2-3y=15$ Дополним выражения до полных квадратов. Для $x^2-6x$ необходимо добавить $(\frac{6}{2}{)}^2=9$ . Для $y^2-3y$ необходимо добавить $(\frac{3}{2}{)}^2=2.25$ . Чтобы уравнение оставалось верным, добавим эти же значения к правой части: $(x^2-6x+9)+(y^2-3y+2.25)=15+9+2.25$ $(x-3{)}^2+(y-1.5{)}^2=26.25$ ️ Шаг 2: Избавление от дробных частей Чтобы упростить поиск целых решений, умножим обе части уравнения на $4$: $4(x-3{)}^2+4(y-1.5{)}^2=105$ $\left(2\right(x-3){)}^2+(2y-3{)}^2=105$ Пусть $u=2x-6$ и $v=2y-3$. Тогда уравнение принимает вид: $u^2+v^2=105$ Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $u$ должно быть четным числом, а $v$ — нечетным (так как $2y$ четное, а $2y-3$ нечетное). ️ Шаг 3: Анализ возможных значений переменных Рассмотрим квадраты целых чисел, не превышающие $105$: $0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100$. Так как $u$ четное, $u^2$ может принимать значения: $0,4,16,36,64,100$. Проверим соответствующие значения для $v^2=105-u^2$:

1. $u^2=0v^2=105$ (не является квадратом) $u^2=4v^2=101$ (не является квадратом) $u^2=16v^2=89$ (не является квадратом) $u^2=36v^2=69$ (не является квадратом) $u^2=64v^2=41$ (не является квадратом) $u^2=100v^2=5$ (не является квадратом)

Так как ни в одном случае $v^2$ не оказался квадратом целого числа, уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: Данное уравнение имеет 0 решений в целых числах. Нужно ли вам проверить другие подобные уравнения на наличие целочисленных решений?