Как найти область допустимых значений выражения arcsin (5-2х)

Для нахождения области допустимых значений (ОДЗ) выражения $\arcsin (5-2x)$ необходимо учитывать определение и свойства функции арксинуса. Теоретическое обоснование Функция $y=\arcsin \left(t\right)$ определена только для тех значений аргумента $t$, которые входят в отрезок $[-1,1]$. Это связано с тем, что синус любого угла не может быть меньше $-1$ или больше $1$. Следовательно, для выражения $\arcsin \left(f\right(x\left)\right)$ условие нахождения ОДЗ записывается в виде двойного неравенства: $-1\le f\left(x\right)\le 1$Пошаговое решение 1. Составление неравенства Применим вышеуказанное правило к выражению $5-2x$: $-1\le 5-2x\le 1$2. Изоляция переменной (вычитание константы) Вычтем $5$ из всех частей неравенства: $-1-5\le -2x\le 1-5$ $-6\le -2x\le -4$3. Деление на коэффициент (нахождение x) Разделим все части неравенства на $-2$.

Важно: При делении или умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства переворачиваются.

$-6/\left(-2\right)\ge x\ge -4/\left(-2\right)$ $3\ge x\ge 2$Или, записывая в более привычном порядке (от меньшего к большему): $2\le x\le 3$Ответ Областью допустимых значений выражения является отрезок: $x\in [2,3]$ Проверка крайних точек

• Если $x=2$, то $\arcsin (5-2\cdot 2)=\arcsin \left(1\right)=\pi /2$ (определено). Если $x=3$, то $\arcsin (5-2\cdot 3)=\arcsin \left(-1\right)=-\pi /2$ (определено).

Я могу помочь вам найти область определения для других тригонометрических функций или решить систему неравенств, если это необходимо.