|x^2-9|+|x-2|=5 решите , методом интервалов

Question

|x^2-9|+|x-2|=5 решите , методом интервалов

AGENT_4590 11.03.2026 12:19

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Для решения уравнения $| x^{2} - 9 | + | x - 2 | = 5 the absolute value of x squared minus 9 end-absolute-value plus the absolute value of x minus 2 end-absolute-value equals 5$ методом интервалов, необходимо определить точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль, и рассмотреть поведение функции на полученных промежутках. 1. Нахождение критических точек Найдем корни выражений внутри модулей:

$x^{2} - 9 = 0 ⟹ (x - 3) (x + 3) = 0 ⟹ x = -3, x = 3 x squared minus 9 equals 0 ⟹ open paren x minus 3 close paren open paren x plus 3 close paren equals 0 ⟹ bold x equals negative 3 comma bold x equals 3$ $x - 2 = 0 ⟹ x = 2 x minus 2 equals 0 ⟹ bold x equals 2$

Эти точки делят числовую прямую на четыре интервала:

$(- \infty, -3] open paren negative infinity comma negative 3 close bracket$ $(-3, 2] open paren negative 3 comma 2 close bracket$ $(2, 3] open paren 2 comma 3 close bracket$ $(3, + \infty) open paren 3 comma positive infinity close paren$

2. Решение на интервалах Интервал I: $x \in (- \infty, -3] x is an element of open paren negative infinity comma negative 3 close bracket$

$x^{2} - 9 \geq 0 x squared minus 9 is greater than or equal to 0$ (модуль раскрывается с плюсом) $x - 2 < 0 x minus 2 is less than 0$ (модуль раскрывается с минусом)

Уравнение: $(x^{2} - 9) - (x - 2) = 5 open paren x squared minus 9 close paren minus open paren x minus 2 close paren equals 5$ $x^{2} - 9 - x + 2 - 5 = 0 x squared minus 9 minus x plus 2 minus 5 equals 0$ $x^{2} - x - 12 = 0 x squared minus x minus 12 equals 0$ Корни по теореме Виета: $x_{1} = 4, x_{2} = -3 x sub 1 equals 4 comma x sub 2 equals negative 3$ . Проверка: $4 \notin (- \infty, -3] 4 is not an element of open paren negative infinity comma negative 3 close bracket$ , а $-3 \in (- \infty, -3] negative 3 is an element of open paren negative infinity comma negative 3 close bracket$ . Корень: $x = -3 x equals negative 3$ Интервал II: $x \in (-3, 2] x is an element of open paren negative 3 comma 2 close bracket$

$x^{2} - 9 < 0 x squared minus 9 is less than 0$ (минус) $x - 2 \leq 0 x minus 2 is less than or equal to 0$ (минус)

Уравнение: $- (x^{2} - 9) - (x - 2) = 5 negative open paren x squared minus 9 close paren minus open paren x minus 2 close paren equals 5$ $- x^{2} + 9 - x + 2 - 5 = 0 negative x squared plus 9 minus x plus 2 minus 5 equals 0$ $- x^{2} - x + 6 = 0 ⟹ x^{2} + x - 6 = 0 negative x squared minus x plus 6 equals 0 ⟹ x squared plus x minus 6 equals 0$ Корни: $x_{1} = -3, x_{2} = 2 x sub 1 equals negative 3 comma x sub 2 equals 2$ . Проверка: Оба числа входят в границы интервала (или являются его границами). Корни: $x = -3, x = 2 x equals negative 3 comma x equals 2$ Интервал III: $x \in (2, 3] x is an element of open paren 2 comma 3 close bracket$

$x^{2} - 9 \leq 0 x squared minus 9 is less than or equal to 0$ (минус) $x - 2 > 0 x minus 2 is greater than 0$ (плюс)

Уравнение: $- (x^{2} - 9) + (x - 2) = 5 negative open paren x squared minus 9 close paren plus open paren x minus 2 close paren equals 5$ $- x^{2} + 9 + x - 2 - 5 = 0 negative x squared plus 9 plus x minus 2 minus 5 equals 0$ $- x^{2} + x + 2 = 0 ⟹ x^{2} - x - 2 = 0 negative x squared plus x plus 2 equals 0 ⟹ x squared minus x minus 2 equals 0$ Корни: $x_{1} = 2, x_{2} = -1 x sub 1 equals 2 comma x sub 2 equals negative 1$ . Проверка: $2 \notin (2, 3] 2 is not an element of open paren 2 comma 3 close bracket$ (уже учтено ранее), $-1 \notin (2, 3] negative 1 is not an element of open paren 2 comma 3 close bracket$ . Корней нет. Интервал IV: $x \in (3, + \infty) x is an element of open paren 3 comma positive infinity close paren$

$x^{2} - 9 > 0 x squared minus 9 is greater than 0$ (плюс) $x - 2 > 0 x minus 2 is greater than 0$ (плюс)

Уравнение: $(x^{2} - 9) + (x - 2) = 5 open paren x squared minus 9 close paren plus open paren x minus 2 close paren equals 5$ $x^{2} - 9 + x - 2 - 5 = 0 x squared minus 9 plus x minus 2 minus 5 equals 0$ $x^{2} + x - 16 = 0 x squared plus x minus 16 equals 0$ Корни через дискриминант: $D = 1^{2} - 4 (1) (-16) = 65 cap D equals 1 squared minus 4 open paren 1 close paren open paren negative 16 close paren equals 65$ . $x = \frac{-1 \pm \sqrt{65}}{2} x equals the fraction with numerator negative 1 plus or minus the square root of 65 end-root and denominator 2 end-fraction$ Приблизительные значения: $\sqrt{64} = 8 the square root of 64 end-root equals 8$ , значит $\sqrt{65} \approx 8.06 the square root of 65 end-root is approximately equal to 8.06$ . $x_{1} \approx \frac{7.06}{2} \approx 3.53 x sub 1 is approximately equal to 7.06 over 2 end-fraction is approximately equal to 3.53$ , $x_{2} \approx \frac{-9.06}{2} \approx -4.53 x sub 2 is approximately equal to negative 9.06 over 2 end-fraction is approximately equal to negative 4.53$ . Проверка: $x_{1} \approx 3.53 x sub 1 is approximately equal to 3.53$ входит в интервал $(3, + \infty) open paren 3 comma positive infinity close paren$ . Корень: $x = \frac{-1 + \sqrt{65}}{2} x equals the fraction with numerator negative 1 plus the square root of 65 end-root and denominator 2 end-fraction$ 3. Итоговые значения Соберем все найденные решения:

$x = -3 x equals negative 3$ $x = 2 x equals 2$ $x = \frac{-1 + \sqrt{65}}{2} x equals the fraction with numerator negative 1 plus the square root of 65 end-root and denominator 2 end-fraction$

Ответ: $-3; 2; \frac{\sqrt{65} - 1}{2} negative 3 ; 2 ; the fraction with numerator the square root of 65 end-root minus 1 and denominator 2 end-fraction$ . Могу ли я помочь с разбором других систем уравнений или задач с параметрами?

|x^2-9|+|x-2|=5 решите , методом интервалов

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов