Log1/2(2x+3)>log1/2(x+1)

Для решения неравенства ${\log }_{1/2}(2x+3)>{\log }_{1/2}(x+1)$ необходимо учитывать свойства логарифмической функции и область допустимых значений (ОДЗ). 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма всегда должен быть строго больше нуля. Составим систему неравенств:

1. $2x+3>0⟹2x>-3⟹x>-1.5$ $x+1>0⟹x>-1$

Общим решением для ОДЗ является интервал: $x>-1$. 2. Решение основного неравенства При переходе от логарифмов к их аргументам важно смотреть на основание.

• Если основание $a>1$, знак неравенства сохраняется. Если основание $0<a<1$, знак неравенства меняется на противоположный.

Так как основание в данном случае равно $1/2$ (что меньше 1), мы меняем знак « $>$» на « $<$»: $2x+3<x+1$Решаем полученное линейное неравенство:

1. Переносим $x$ в левую часть: $2x-x+3<1$ Переносим 3 в правую часть: $x<1-3$ Получаем: $x<-2$

3. Сопоставление с ОДЗ Теперь необходимо найти пересечение полученного решения и ОДЗ:

• Условие из решения: $x<-2$ Условие из ОДЗ: $x>-1$

На числовой прямой эти интервалы не пересекаются:

• Числа, которые меньше $-2$, не могут быть одновременно больше $-1$.

Ответ: Решений нет (пустое множество). Я могу помочь с решением других логарифмических неравенств или систем уравнений, если это потребуется.