Log по основанию 2(x в кв 2 + 4x+3)=3

Для решения уравнения ${\log }_2(x^2+4x+3)=3$ воспользуемся определением логарифма и правилами решения логарифмических уравнений. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x^2+4x+3>0$Найдем корни уравнения $x^2+4x+3=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• $x_1=-1$ $x_2=-3$

Следовательно, выражение положительно при $x\in (-\infty ;-3)\cup (-1;+\infty )$. 2. Переход к квадратному уравнению Согласно определению логарифма ( ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$), преобразуем уравнение: $x^2+4x+3=2^3$ $x^2+4x+3=8$Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид $a{x}^2+bx+c=0$: $x^2+4x+3-8=0$ $x^2+4x-5=0$ 3. Решение квадратного уравнения Воспользуемся формулой дискриминанта: $D=b^2-4ac=4^2-4\cdot 1\cdot \left(-5\right)=16+20=36$ $\sqrt{D}=6$ Находим корни: $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

• $x_1=\frac{-4+6}{2}=\frac{2}{2}=1$
• $x_2=\frac{-4-6}{2}=\frac{-10}{2}=-5$

4. Проверка корней Проверим найденные значения на соответствие ОДЗ:

1. $x=1$: Число $1$ входит в интервал $(-1;+\infty )$. Подставим в исходное: $1^2+4\left(1\right)+3=8$. ${\log }_{2}8=3$. (Верно) $x=-5$: Число $-5$ входит в интервал $(-\infty ;-3)$. Подставим в исходное: $(-5{)}^2+4(-5)+3=25-20+3=8$. ${\log }_{2}8=3$. (Верно)

Ответ: $x_1=1,x_2=-5$. Я могу помочь вам с решением других логарифмических уравнений или систем уравнений, если вы пришлете их условия.