Log^2 (243x) по основанию 3 - 80logx по основанию 243 =43 ( если уравгение имеет более одного корня, в ответ укажите произведение всех корней уравнения)

Question

Log^2 (243x) по основанию 3 - 80logx по основанию 243 =43 ( если уравгение имеет более одного корня, в ответ укажите произведение всех корней уравнения)

ClassicRobot 12.03.2026 13:30

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Для решения уравнения $\log_{3}^{2} (243 x) - 80 \log_{243} x = 43 log base 3 end-base squared of 243 x minus 80 log base 243 of x equals 43$ воспользуемся свойствами логарифмов. 1. Преобразование первого слагаемого Используем свойство логарифма произведения $\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c log base a of b c equals log base a of b plus log base a of c$ : $\log_{3} (243 x) = \log_{3} 243 + \log_{3} x log base 3 of 243 x equals log base 3 of 243 plus log base 3 of x$ Так как $243 = 3^{5} 243 equals 3 to the fifth power$ , то $\log_{3} 243 = 5 log base 3 of 243 equals 5$ . Следовательно: $\log_{3} (243 x) = 5 + \log_{3} x log base 3 of 243 x equals 5 plus log base 3 of x$ Тогда первое слагаемое примет вид: $\log_{3}^{2} (243 x) = (5 + \log_{3} x)^{2} log base 3 end-base squared of 243 x equals open paren 5 plus log base 3 of x close paren squared$ 2. Преобразование второго слагаемого Используем свойство перехода к новому основанию $\log_{a^{n}} b = \frac{1}{n} \log_{a} b log base a to the n-th power of b equals 1 over n end-fraction log base a of b$ : $80 \log_{243} x = 80 \log_{3^{5}} x = 80 \cdot \frac{1}{5} \log_{3} x = 16 \log_{3} x 80 log base 243 of x equals 80 log base 3 to the fifth power of x equals 80 center dot one-fifth log base 3 of x equals 16 log base 3 of x$ 3. Составление и решение квадратного уравнения Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $(5 + \log_{3} x)^{2} - 16 \log_{3} x = 43 open paren 5 plus log base 3 of x close paren squared minus 16 log base 3 of x equals 43$ Введем замену переменной: $t = \log_{3} x t equals log base 3 of x$ . $(5 + t)^{2} - 16 t = 43 open paren 5 plus t close paren squared minus 16 t equals 43$ Раскроем скобки: $25 + 10 t + t^{2} - 16 t = 43 25 plus 10 t plus t squared minus 16 t equals 43$ $t^{2} - 6 t + 25 - 43 = 0 t squared minus 6 t plus 25 minus 43 equals 0$ $t^{2} - 6 t - 18 = 0 t squared minus 6 t minus 18 equals 0$ Данное квадратное уравнение имеет два корня $t_{1} t sub 1$ и $t_{2} t sub 2$ , так как дискриминант $D = (-6)^{2} - 4 (1) (-18) = 36 + 72 = 108 > 0 cap D equals open paren negative 6 close paren squared minus 4 open paren 1 close paren open paren negative 18 close paren equals 36 plus 72 equals 108 is greater than 0$ . 4. Поиск произведения корней исходного уравнения Нам нужно найти произведение корней $x_{1} \cdot x_{2} x sub 1 center dot x sub 2$ . Вернемся к замене:

$t_{1} = \log_{3} x_{1} ⟹ x_{1} = 3^{t_{1}} t sub 1 equals log base 3 of x sub 1 ⟹ x sub 1 equals 3 raised to the t sub 1 power$ $t_{2} = \log_{3} x_{2} ⟹ x_{2} = 3^{t_{2}} t sub 2 equals log base 3 of x sub 2 ⟹ x sub 2 equals 3 raised to the t sub 2 power$

Произведение корней: $x_{1} \cdot x_{2} = 3^{t_{1}} \cdot 3^{t_{2}} = 3^{t_{1} + t_{2}} x sub 1 center dot x sub 2 equals 3 raised to the t sub 1 power center dot 3 raised to the t sub 2 power equals 3 raised to the t sub 1 plus t sub 2 power$ Согласно теореме Виета для уравнения $t^{2} - 6 t - 18 = 0 t squared minus 6 t minus 18 equals 0$ , сумма корней $t_{1} + t_{2} t sub 1 plus t sub 2$ равна коэффициенту при $t t$ с противоположным знаком: $t_{1} + t_{2} = 6 t sub 1 plus t sub 2 equals 6$ Следовательно: $x_{1} \cdot x_{2} = 3^{6} x sub 1 center dot x sub 2 equals 3 to the sixth power$ $3^{6} = 729 3 to the sixth power equals 729$ Ответ: 729 Я могу также детально разобрать ОДЗ этого уравнения или решить аналогичную задачу с другими основаниями. Хотите продолжить?

Log^2 (243x) по основанию 3 - 80logx по основанию 243 =43 ( если уравгение имеет более одного корня, в ответ укажите произведение всех корней уравнения)

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов