Найдите наибольшие и наименьшие значение функции y=3x^5-5x^3+1

Для функции $y=3x^5-5x^3+1$, рассматриваемой на всей числовой прямой, наибольшего и наименьшего значений не существует, так как пределы функции на бесконечности равны $+\infty$ и $-\infty$. ️ Шаг 1: Нахождение производной функции Для исследования функции на экстремумы необходимо найти её производную, используя правило дифференцирования степенной функции: $y^{\prime }=(3x^5-5x^3+1{)}^{\prime }=15x^4-15x^2$️ Шаг 2: Нахождение критических точек Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, в которых наклон касательной равен нулю: $15x^4-15x^2=0$Вынесем общий множитель за скобки: $15x^2(x^2-1)=0$Отсюда получаем три критические точки: $x_1=0,x_2=1,x_3=-1$️ Шаг 3: Анализ поведения функции и пределов Функция является многочленом нечетной (пятой) степени. Проанализируем её поведение на бесконечности:

1. $\underset{x+\infty }{\lim }(3x^5-5x^3+1)=+\infty$ $\underset{x-\infty }{\lim }(3x^5-5x^3+1)=-\infty$

Поскольку значения функции неограниченно растут при $x+\infty$ и неограниченно убывают при $x-\infty$, функция не имеет глобального максимума и минимума на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$. В найденных критических точках функция достигает локальных экстремумов:

• В точке $x=-1$: $y\left(-1\right)=3(-1{)}^5-5(-1{)}^3+1=-3+5+1=3$ (локальный максимум). В точке $x=1$: $y\left(1\right)=3(1{)}^5-5(1{)}^3+1=3-5+1=-1$ (локальный минимум). В точке $x=0$ производная не меняет знак, это точка перегиба.

Ответ: На всей области определения $(-\infty ;+\infty )$ функция не имеет наибольшего и наименьшего значений. Если к этой задаче прилагался конкретный отрезок, пожалуйста, укажите его для нахождения значений на границах. Уточните, требуется ли найти экстремумы на определенном интервале?