Log(x+6) по основанию 4 больше равно 2log x по основанию 4

Для решения неравенства ${\log }_4(x+6)\ge 2{\log }_{4}x$ необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) и применить свойства логарифмов. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

• $x+6>0⟹x>-6$ $x>0$

Пересечением этих условий является интервал: $x>0$. 2. Преобразование и решение неравенства Используем свойство логарифма: $n{\log }_{a}b={\log }_a\left(b^n\right)$. ${\log }_4(x+6)\ge {\log }_4{x}^2$Так как основание логарифма $4>1$, логарифмическая функция возрастает. Это позволяет перейти к сравнению аргументов с сохранением знака неравенства: $x+6\ge x^2$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство: $-x^2+x+6\ge 0$ $x^2-x-6\le 0$Найдем корни уравнения $x^2-x-6=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• $x_1+x_2=1$ $x_1\cdot x_2=-6$ Корни: $x_1=3,x_2=-2$

Графиком функции $y=x^2-x-6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Выражение меньше или равно нулю на отрезке между корнями: $x\in [-2;3]$ 3. Пересечение с ОДЗ Теперь необходимо сопоставить полученное решение с условием $x>0$:

1. Решение неравенства: $x\in [-2;3]$ ОДЗ: $x\in (0;+\infty )$

Общая часть этих промежутков: $0<x\le 3$. Ответ: $x\in (0;3]$ Я могу составить аналогичные задания для тренировки или помочь с решением системы неравенств. Хотите, чтобы я подготовил список похожих примеров с ответами?