Найти частные производные 1-го порядка для функции z=ln(xy-x^2)

Частными производными первого порядка для функции $z=\ln (xy-x^2)$ являются $z_x^{\prime }=\frac{y-2x}{xy-x^2}$ и $z_y^{\prime }=\frac{1}{y-x}$ . Шаг 1: Нахождение частной производной по переменной x Для нахождения $\frac{z}{x}$ используем правило дифференцирования сложной функции $\frac{}{x}\ln \left(u\right)=\frac{1}{u}\cdot \frac{u}{x}$ , где $u=xy-x^2$. При дифференцировании по $x$ переменная $y$ рассматривается как константа: $\frac{z}{x}=\frac{1}{xy-x^2}\cdot \frac{}{x}(xy-x^2)=\frac{1}{xy-x^2}\cdot (y\cdot 1-2x)=\frac{y-2x}{xy-x^2}$ Шаг 2: Нахождение частной производной по переменной y Для нахождения $\frac{z}{y}$ аналогично используем правило сложной функции, рассматривая $x$ как константу: $\frac{z}{y}=\frac{1}{xy-x^2}\cdot \frac{}{y}(xy-x^2)=\frac{1}{xy-x^2}\cdot (x\cdot 1-0)=\frac{x}{xy-x^2}$ Выражение можно упростить, вынеся $x$ в знаменателе за скобки: $\frac{z}{y}=\frac{x}{x(y-x)}=\frac{1}{y-x}$ Ответ: $\frac{z}{x}=\frac{\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{x}\mathbf{y}\mathbf{-}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}$ $\frac{z}{y}=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{x}}$ Нужно ли вам найти частные производные второго порядка или выполнить проверку через полный дифференциал?