Найдите производные у=ln(х²-4)

Для нахождения производной функции $y=\ln (x^2-4)$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Формулы и правила

1. Производная натурального логарифма:
   $\frac{d}{dx}\left(\ln u\right)=\frac{1}{u}\cdot u^{\prime }$ Производная степенной функции:
   $(x^n{)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}$ Производная константы:
   $(C{)}^{\prime }=0$

Пошаговое решение

1. Определение внешней и внутренней функции:
   В данном случае внешняя функция — это логарифм $\ln \left(u\right)$, а внутренняя функция — это выражение под знаком логарифма $u=x^2-4$. Применение цепного правила:
   Согласно правилу дифференцирования сложной функции:
   $y^{\prime }=\frac{1}{x^2-4}\cdot (x^2-4{)}^{\prime }$ Дифференцирование внутренней функции:
   Вычислим производную выражения $(x^2-4)$:
   $(x^2-4{)}^{\prime }=(x^2{)}^{\prime }-(4{)}^{\prime }=2x-0=2x$ Сборка итогового выражения:
   Подставим полученную производную внутренней функции обратно в формулу:
   $y^{\prime }=\frac{1}{x^2-4}\cdot 2x$ Упрощение записи:
   $y^{\prime }=\frac{2x}{x^2-4}$

Ответ: $y^{\prime }=\frac{2x}{x^2-4}$ Область определения производной совпадает с областью определения исходной функции, где $x^2-4>0$, то есть $x\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$. Я могу также найти вторую производную этой функции или исследовать её на экстремумы, если это необходимо.