Определить точки перегиба графика функции f (x)=(x^2-1)^2

Для нахождения точек перегиба функции необходимо исследовать её вторую производную. Точки перегиба — это точки, в которых вторая производная меняет знак. 1. Нахождение первой производной Сначала найдем первую производную функции $f\left(x\right)=(x^2-1{)}^2$, используя правило дифференцирования сложной функции: $f^{\prime }\left(x\right)=2(x^2-1)\cdot (x^2-1{)}^{\prime }=2(x^2-1)\cdot 2x=4x(x^2-1)$Раскроем скобки для удобства дальнейшего дифференцирования: $f^{\prime }\left(x\right)=4x^3-4x$2. Нахождение второй производной Теперь найдем производную от полученного выражения: $f^{\prime \prime }\left(x\right)=(4x^3-4x{)}^{\prime }=12x^2-4$3. Нахождение критических точек второго рода Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти потенциальные точки перегиба: $12x^2-4=0$ $12x^2=4$ $x^2=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ Приведем к рациональному виду: $x_1=-\frac{\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 4. Проверка смены знака второй производной Разделим числовую ось на интервалы найденными точками и определим знак $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ на каждом из них:

1. Интервал $(-\infty ;-\frac{\sqrt{3}}{3})$ : возьмем $x=-1$.
   $f^{\prime \prime }\left(-1\right)=12(-1{)}^2-4=8>0$ (график вогнут вверх). Интервал $(-\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{3}}{3})$ : возьмем $x=0$.
   $f^{\prime \prime }\left(0\right)=12(0{)}^2-4=-4<0$ (график вогнут вниз). Интервал $(\frac{\sqrt{3}}{3};+\infty )$ : возьмем $x=1$.
   $f^{\prime \prime }\left(1\right)=12(1{)}^2-4=8>0$ (график вогнут вверх).

Так как в обеих точках вторая производная меняет знак, они являются абсциссами точек перегиба. 5. Вычисление координат точек перегиба Найдем значения функции в этих точках: $f(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})={({\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2-1)}^2={(\frac{1}{3}-1)}^2={(-\frac{2}{3})}^2=\frac{4}{9}$ Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{4}{9})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{4}{9})$ Могу ли я помочь вам построить график этой функции или найти её экстремумы?