Найдите промежутки возрастания функции f(x)=2x3+12x2-30x+11

Функция возрастает на промежутках $(-\infty ,-5]$ и $[1,+\infty )$. Шаг 1: Нахождение производной функции Для определения промежутков монотонности необходимо найти производную функции $f\left(x\right)=2x^3+12x^2-30x+11$. Используя правила дифференцирования степенной функции, получаем: $f^{\prime }\left(x\right)=6x^2+24x-30$Шаг 2: Определение критических точек Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки, в которых функция может менять характер монотонности: $6x^2+24x-30=0$Разделим всё уравнение на $6$ для упрощения: $x^2+4x-5=0$Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета. Корнями являются: $x_1=-5,x_2=1$Шаг 3: Исследование знаков производной Функция возрастает на тех промежутках, где её производная положительна ( $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$). Рассмотрим знаки выражения $6(x+5)(x-1)$ на числовой прямой:

1. На интервале $(-\infty ,-5)$ выберем $x=-6$: $f^{\prime }\left(-6\right)=6(-6+5)(-6-1)=6\left(-1\right)\left(-7\right)=42>0$. Производная положительна, функция возрастает. На интервале $(-5,1)$ выберем $x=0$: $f^{\prime }\left(0\right)=-30<0$. Производная отрицательна, функция убывает. На интервале $(1,+\infty )$ выберем $x=2$: $f^{\prime }\left(2\right)=6(2+5)(2-1)=42>0$. Производная положительна, функция возрастает.

Согласно правилам математического анализа, точки, в которых производная равна нулю, включаются в промежутки возрастания, если функция в них непрерывна. Ответ: Функция возрастает при $x\in (-\infty ,-5]\cup [1,+\infty )$. Нужно ли вам также найти точки экстремума или значения функции в этих точках?