Найдите точку минимума функции y = x^3-27x^2+15

Для нахождения точки минимума функции $y=x^3-27x^2+15$ воспользуемся алгоритмом исследования функции с помощью производной. 1. Нахождение производной функции Используем правила дифференцирования степенной функции $(x^n{)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}$ и константы $(C{)}^{\prime }=0$: $y^{\prime }=(x^3{)}^{\prime }-(27x^2{)}^{\prime }+(15{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=3x^2-2\cdot 27x+0$ $y^{\prime }=3x^2-54x$2. Поиск критических точек Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, в которых функция может иметь экстремум: $3x^2-54x=0$ Вынесем общий множитель $3x$ за скобки: $3x(x-18)=0$ Отсюда получаем два корня:

1. $3x=0x_1=0$ $x-18=0x_2=18$

3. Определение знаков производной и характера точек Разделим числовую прямую на интервалы найденными точками $(-\infty ;0)$, $(0;18)$ и $(18;+\infty )$ и определим знак производной $y^{\prime }=3x(x-18)$ на каждом из них:

• Интервал $(-\infty ;0)$: Возьмем $x=-1$.
  $y^{\prime }\left(-1\right)=3\cdot \left(-1\right)\cdot (-1-18)=-3\cdot \left(-19\right)=57>0$. Производная положительна, функция возрастает. Интервал $(0;18)$: Возьмем $x=1$.
  $y^{\prime }\left(1\right)=3\cdot 1\cdot (1-18)=3\cdot \left(-17\right)=-51<0$. Производная отрицательна, функция убывает. Интервал $(18;+\infty )$: Возьмем $x=19$.
  $y^{\prime }\left(19\right)=3\cdot 19\cdot (19-18)=57\cdot 1=57>0$. Производная положительна, функция возрастает.

4. Вывод Точка минимума — это точка, в которой производная меняет знак с минуса на плюс. В данном случае это происходит в точке $x=18$. Ответ: 18. Хотите узнать, как найти наименьшее значение этой функции на конкретном промежутке?