Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если площаль его полной поверхности в три раза больше площади основания.

Угол при вершине осевого сечения конуса составляет 60^\circ. Шаг 1: Соотношение площадей Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$. Согласно условию задачи: $S_{полн}=3S_{осн}$ $\pi r^2+\pi rl=3\pi r^2$где $r$ — радиус основания, а $l$ — образующая конуса. Вычтем площадь основания из обеих частей уравнения: $\pi rl=2\pi r^2$Шаг 2: Связь геометрических элементов Из полученного равенства $\pi rl=2\pi r^2$ можно выразить образующую $l$ через радиус $r$, разделив обе части на $\pi r$: $l=2r$Это означает, что образующая конуса в два раза длиннее радиуса его основания. Шаг 3: Вычисление угла при вершине Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ и основанием $2r$. Пусть $\alpha$ — искомый угол при вершине. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, радиусом и образующей. В нем синус половины угла при вершине равен: $\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{r}{l}$ Подставим значение $l=2r$: $\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{r}{2r}=\frac{1}{2}$ Следовательно, $\frac{\alpha }{2}={30}^{\circ }$ , откуда получаем: $\alpha =2\cdot {30}^{\circ }={60}^{\circ }$Ответ: Угол при вершине осевого сечения равен 60^\circ. Нужно ли рассчитать объем этого конуса при заданном радиусе или высоте?