Найдите значение производной функции в точке x0: а) f(x)=2tgx, x0= -3pi/4 б) f(x)=(4x+1)/(x+3), x0= -2 в) f(x)=корень из 4x-7, x0= 2 г) f(x)=sin(3x-pi/4), x0= pi/4 д) f(x)=tg6x, x0= pi/24

Значения производных функций в заданных точках составляют: а) 4, б) 11, в) 2, г) 0, д) 12. ️ Шаг 1: Вычисление производной для функции а) Для функции $f\left(x\right)=2\tan x$ используем правило дифференцирования тангенса: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{2}{{\cos }^{2}x}$ Подставим значение $x_0=-\frac{3\pi }{4}$ : $f^{\prime }(-\frac{3\pi }{4})=\frac{2}{{\cos }^2(-\frac{3\pi }{4})}=\frac{2}{(-\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2}=\frac{2}{\frac{2}{4}}=4$ ️ Шаг 2: Вычисление производной для функции б) Для функции $f\left(x\right)=\frac{4x+1}{x+3}$ применим правило производной частного $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ : $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{4(x+3)-1(4x+1)}{(x+3{)}^2}=\frac{4x+12-4x-1}{(x+3{)}^2}=\frac{11}{(x+3{)}^2}$ Подставим значение $x_0=-2$: $f^{\prime }\left(-2\right)=\frac{11}{(-2+3{)}^2}=\frac{11}{1^2}=11$ ️ Шаг 3: Вычисление производной для функции в) Для функции $f\left(x\right)=\sqrt{4x-7}$ используем правило производной сложной функции $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ : $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{4}{2\sqrt{4x-7}}=\frac{2}{\sqrt{4x-7}}$ Подставим значение $x_0=2$: $f^{\prime }\left(2\right)=\frac{2}{\sqrt{4\left(2\right)-7}}=\frac{2}{\sqrt{1}}=2$ ️ Шаг 4: Вычисление производной для функции г) Для функции $f\left(x\right)=\sin (3x-\frac{\pi }{4})$ используем правило производной синуса и сложной функции: $f^{\prime }\left(x\right)=\cos (3x-\frac{\pi }{4})\cdot (3x-\frac{\pi }{4}{)}^{\prime }=3\cos (3x-\frac{\pi }{4})$ Подставим значение $x_0=\frac{\pi }{4}$ : $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=3\cos (3\cdot \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4})=3\cos \left(\frac{2\pi }{4}\right)=3\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=3\cdot 0=0$ ️ Шаг 5: Вычисление производной для функции д) Для функции $f\left(x\right)=\tan \left(6x\right)$ используем производную тангенса сложного аргумента: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^2\left(6x\right)}\cdot (6x{)}^{\prime }=\frac{6}{{\cos }^2\left(6x\right)}$ Подставим значение $x_0=\frac{\pi }{24}$ : $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{24}\right)=\frac{6}{{\cos }^2(6\cdot \frac{\pi }{24})}=\frac{6}{{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}\right)}=\frac{6}{(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$ Ответ: а) 4, б) 11, в) 2, г) 0, д) 12. Требуются ли вам дополнительные пояснения по правилам дифференцирования сложных функций или применению тригонометрических формул в этих задачах?