Найти первообразную f(x)=2x^5-3x^2

Для нахождения первообразной функции $f\left(x\right)=2x^5-3x^2$ воспользуемся правилом интегрирования степенной функции и свойством линейности неопределенного интеграла. Основные правила Для решения используются следующие формулы:

1. Интеграл степенной функции: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ , где $n\ne -1$. Вынос константы: $\int k\cdot f\left(x\right)dx=k\cdot \int f\left(x\right)dx$. Интеграл суммы/разности: $\int \left(f\right(x)\pm g(x\left)\right)dx=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$.

Пошаговое решение 1. Запишем неопределенный интеграл от заданной функции: $F\left(x\right)=\int (2x^5-3x^2)dx$2. Применим свойство линейности (разбиваем на два интеграла и выносим коэффициенты): $F\left(x\right)=2\int x^{5}dx-3\int x^{2}dx$3. Интегрируем каждое слагаемое по формуле степенной функции:

• Для $x^5$: $\int x^{5}dx=\frac{x^{5+1}}{5+1}=\frac{x^6}{6}$ Для $x^2$: $\int x^{2}dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^3}{3}$

4. Подставляем полученные результаты в выражение: $F\left(x\right)=2\cdot \left(\frac{x^6}{6}\right)-3\cdot \left(\frac{x^3}{3}\right)+C$ 5. Производим сокращение дробей:

• $2\cdot \frac{x^6}{6}=\frac{x^6}{3}$ $3\cdot \frac{x^3}{3}=x^3$

Итоговый ответ Общий вид первообразной для функции $f\left(x\right)=2x^5-3x^2$: $F\left(x\right)=\frac{x^6}{3}-x^3+C$ где $C$ — произвольная постоянная (константа). Я могу также вычислить определенный интеграл этой функции на заданном промежутке, если это необходимо.