Основанием прямой призмы abcda1b1c1d1 является квадрат abcd с длиной стороны 4 корень из 5. высота призмы равна 4 корень из 15 найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью amd1, где точка м— середина ребра cd.

Косинус угла между плоскостью основания $ABCD$ и плоскостью $AM{D}_1$ равен $\mathbf{0}\mathbf{,}25$. 1. Введение системы координат Поместим прямую призму в декартову систему координат так, чтобы вершина $D$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Пусть ребро $DA$ лежит на оси $Ox$, ребро $DC$ — на оси $Oy$, а ребро $D{D}_1$ — на оси $Oz$. Согласно условию:

• Сторона квадрата $a=4\sqrt{5}$ . Высота призмы $h=4\sqrt{15}$ .

Координаты ключевых точек:

• $D(0;0;0)$ $A(4\sqrt{5};0;0)$ $C(0;4\sqrt{5};0)$ $D_1(0;0;4\sqrt{15})$ Точка $M$ — середина $CD$, значит ее координаты: $M(0;\frac{4\sqrt{5}}{2};0)=(0;2\sqrt{5};0)$ .

2. Нахождение нормалей к плоскостям Плоскость основания $ABCD$ совпадает с плоскостью $xy$, её уравнение $z=0$. Нормальный вектор этой плоскости: $\overrightarrow{n_1}=(0;0;1)$Для плоскости $AM{D}_1$ воспользуемся уравнением плоскости в отрезках, так как точки $A,M,D_1$ лежат на осях координат (относительно начала координат в точке $D$): $\frac{x}{4\sqrt{5}}+\frac{y}{2\sqrt{5}}+\frac{z}{4\sqrt{15}}=1$ Приведем уравнение к общему виду $Ax+By+Cz+D=0$. Умножим всё уравнение на $4\sqrt{15}$ : $\frac{4\sqrt{15}}{4\sqrt{5}}x+\frac{4\sqrt{15}}{2\sqrt{5}}y+z=4\sqrt{15}$ $\sqrt{3}x+2\sqrt{3}y+z-4\sqrt{15}=0$ Нормальный вектор плоскости $AM{D}_1$: $\overrightarrow{n_2}=(\sqrt{3};2\sqrt{3};1)$ 3. Вычисление косинуса угла Угол $\alpha$ между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Косинус угла вычисляется по формуле: $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_2}\right|}$

1. Скалярное произведение:
   $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0\cdot \sqrt{3}+0\cdot 2\sqrt{3}+1\cdot 1=1$ Длина вектора $\overrightarrow{n_1}$:
   $\left|\overrightarrow{n_1}\right|=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1$ Длина вектора $\overrightarrow{n_2}$:
   $\left|\overrightarrow{n_2}\right|=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(2\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{3+12+1}=\sqrt{16}=4$ Итоговое значение:
   $\cos \alpha =\frac{1}{1\cdot 4}=\frac{1}{4}=0,25$

Ответ Косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью $AM{D}_1$ составляет $0,25$. Требуется ли вам построение сечения этой призмы данной плоскостью или расчет расстояния от какой-либо вершины до плоскости $AM{D}_1$?