Отрицательный точечный заряд –5q и положительный +2q закреплены на расстоянии r друг от друга. где следует поместить положительный заряд q, чтобы он находился в равновесии? [1,72r]

Для того чтобы третий заряд находился в равновесии, действующие на него силы со стороны двух других зарядов должны быть равны по модулю и противоположны по направлению. Анализ расположения заряда Пусть заряд $q_1=-5q$ находится в начале координат ( $x=0$), а заряд $q_2=\mathrm{+2}q$ — в точке $x=r$. Третий (положительный) заряд $q_3=+q$ должен быть помещен на той же прямой.

1. Между зарядами: Силы от $q_1$ (притяжение) и $q_2$ (отталкивание) будут направлены в одну сторону (влево). Равновесие невозможно. Слева от $-5q$ ( $x<0$): Заряд $q_1$ больше по модулю и находится ближе, чем $q_2$. Сила притяжения всегда будет больше силы отталкивания. Равновесие невозможно. Справа от $\mathrm{+2}q$ ( $x>r$): Здесь сила отталкивания от более слабого, но близкого заряда $q_2$ может быть уравновешена силой притяжения от более сильного, но далекого заряда $q_1$. Это искомая область.

Составление уравнения Пусть искомое расстояние от заряда $q_2$ до заряда $q_3$ равно $x$. Тогда расстояние от $q_1$ до $q_3$ равно $(r+x)$. Согласно закону Кулона, модули сил взаимодействия должны быть равны: $k\frac{\left|q_1\right|\cdot q_3}{(r+x{)}^2}=k\frac{q_2\cdot q_3}{x^2}$ Подставим значения зарядов и сократим общие множители ( $k,q,q_3$): $\frac{5}{(r+x{)}^2}=\frac{2}{x^2}$ Решение уравнения Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $\frac{\sqrt{5}}{r+x}=\frac{\sqrt{2}}{x}$ Перемножим крест-накрест: $x\sqrt{5}=\sqrt{2}(r+x)$ $x\sqrt{5}=r\sqrt{2}+x\sqrt{2}$ $x(\sqrt{5}-\sqrt{2})=r\sqrt{2}$ Выразим $x$: $x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\cdot r$ Подставим численные значения корней ( $\sqrt{5}\approx 2,236$ и $\sqrt{2}\approx 1,414$ ): $x=\frac{1,414}{2,236-1,414}\cdot r=\frac{1,414}{0,822}\cdot r\approx 1,72r$ Итоговый ответ Положительный заряд $q$ следует поместить на линии, соединяющей заряды, за меньшим зарядом ( $\mathrm{+2}q$) на расстоянии примерно $1,72r$ от него. Хотите, чтобы я рассчитал потенциальную энергию этой системы зарядов в найденной точке?