Прямоугольный участок земли в 64 га. нужно окопать вдоль всей границы рвом. найти такие размеры участка, чтобы длина рва была наименьшей.

Для того чтобы длина рва (периметр) прямоугольного участка площадью $64$ га была наименьшей, участок должен иметь форму квадрата со сторонами $800$ метров на $800$ метров. 1. Перевод единиц измерения Площадь участка задана в гектарах. Переведем её в квадратные метры, учитывая, что $1$ га $=10000$ м ${}^2$: $S=64\text{га}=64\times 10000=640000{\text{м}}^2$2. Составление целевой функции Пусть $x$ — длина одной стороны прямоугольника (в метрах), а $y$ — длина другой стороны. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: $x\cdot y=640000⟹y=\frac{640000}{x}$ Периметр $P$, который соответствует длине рва, определяется формулой: $P=2(x+y)$Подставим выражение для $y$ в формулу периметра, чтобы получить функцию от одной переменной $x$: $P\left(x\right)=2(x+\frac{640000}{x})=2x+\frac{1280000}{x}$ 3. Поиск экстремума функции Для нахождения минимума функции вычислим её производную по $x$ и приравняем её к нулю: $P^{\prime }\left(x\right)=2-\frac{1280000}{x^2}$ Установим $P^{\prime }\left(x\right)=0$: $2=\frac{1280000}{x^2}$ $x^2=\frac{1280000}{2}=640000$ $x=\sqrt{640000}=800\text{м}$ 4. Проверка и расчет второй стороны Поскольку $x=800$, найдем вторую сторону $y$: $y=\frac{640000}{800}=800\text{м}$ Так как $x=y$, оптимальной формой участка является квадрат. Проверим вторую производную $P^{\prime \prime }\left(x\right)=\frac{2560000}{x^3}$ . При $x=800$ значение $P^{\prime \prime }\left(800\right)>0$, что подтверждает наличие минимума функции в данной точке. На графике видно, что функция периметра достигает своего минимального значения $3200$ м при длине стороны $800$ м. Любое отклонение от формы квадрата при сохранении той же площади приведет к увеличению длины рва. Ответ Оптимальные размеры участка составляют $800$ на $800$ метров. Хотите рассчитать объем трудозатрат на выкапывание рва, если известны его глубина и ширина?