Lg(x-1)+lg(x-3)=lg(3/2 x-3)

Для решения уравнения $\lg (x-1)+\lg (x-3)=\lg (\frac{3}{2}x-3)$ необходимо выполнить следующие шаги: определение области допустимых значений (ОДЗ), преобразование логарифмов и решение полученного алгебраического уравнения. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

1. $x-1>0x>1$ $x-3>0x>3$ $\frac{3}{2}x-3>0\frac{3}{2}x>3x>2$

Общим интервалом для всех условий является $x>3$. 2. Преобразование и решение уравнения Используем свойство суммы логарифмов: $\lg \left(a\right)+\lg \left(b\right)=\lg (a\cdot b)$. $\lg \left(\right(x-1\left)\right(x-3\left)\right)=\lg (\frac{3}{2}x-3)$ Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы: $(x-1)(x-3)=\frac{3}{2}x-3$ Раскроем скобки в левой части: $x^2-3x-x+3=\frac{3}{2}x-3$ $x^2-4x+3=1.5x-3$Перенесем все члены уравнения в левую часть для получения квадратного уравнения: $x^2-4x-1.5x+3+3=0$ $x^2-5.5x+6=0$Для удобства умножим всё уравнение на 2: $2x^2-11x+12=0$3. Поиск корней Воспользуемся формулой дискриминанта $D=b^2-4ac$: $D=(-11{)}^2-4\cdot 2\cdot 12=121-96=25$ $\sqrt{D}=5$ Находим корни $x$: $x_1=\frac{11+5}{2\cdot 2}=\frac{16}{4}=4$ $x_2=\frac{11-5}{2\cdot 2}=\frac{6}{4}=1.5$ 4. Проверка по ОДЗ Сравним полученные корни с условием $x>3$:

• $x_1=4$: Подходит ( $4>3$). $x_2=1.5$: Не подходит ( $1.5<3$), так как при этом значении аргументы логарифмов $(x-3)$ и $(\frac{3}{2}x-3)$ становятся отрицательными.

Ответ: $x=4$. Я могу также помочь с решением систем логарифмических уравнений или неравенств. Хотите разобрать похожий пример с неравенством?