Log2 (x-1)/(x+1) + log(x+1)/(x-1) 2 > 0

Для решения неравенства ${\log }_2\frac{x-1}{x+1}+{\log }_{\frac{x+1}{x-1}}2>0$ необходимо выполнить последовательный анализ области допустимых значений, упростить логарифмические выражения и решить полученное рациональное неравенство. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Для того чтобы логарифмы были определены, должны выполняться следующие условия:

• Аргумент первого логарифма: $\frac{x-1}{x+1}>0$ Основание второго логарифма: $\frac{x+1}{x-1}>0$ и $\frac{x+1}{x-1}\ne 1$

Решим неравенство $\frac{x-1}{x+1}>0$ методом интервалов: Критичекие точки: $x=1$ и $x=-1$. Интервалы: $(-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$. Проверим условие $\frac{x+1}{x-1}\ne 1$ : $x+1=x-1⟹1=-1$ (решений нет, значит выражение никогда не равно $1$). Итоговая ОДЗ: $x\in (-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$. 2. Преобразование неравенства Заметим, что аргумент первого логарифма и основание второго являются взаимно обратными величинами. Обозначим $t={\log }_2\frac{x-1}{x+1}$ . Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: ${\log }_{\frac{x+1}{x-1}}2=\frac{1}{{\log }_2\frac{x+1}{x-1}}$ Так как $\frac{x+1}{x-1}={\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{-1}$ , то: ${\log }_2\frac{x+1}{x-1}={\log }_2{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{-1}=-{\log }_2\frac{x-1}{x+1}=-t$ Подставим это в исходное неравенство: $t+\frac{1}{-t}>0⟹t-\frac{1}{t}>0$ 3. Решение относительно $t$ Приведем выражение к общему знаменателю: $\frac{t^2-1}{t}>0⟹\frac{(t-1)(t+1)}{t}>0$ Используя метод интервалов для $t$:

• Критические точки: $-1,0,1$. Интервалы: $(-1;0)\cup (1;+\infty )$.

4. Обратная замена Рассмотрим два случая для ${\log }_2\frac{x-1}{x+1}$ : Случай 1: $-1<{\log }_2\frac{x-1}{x+1}<0$ Представим границы как логарифмы по основанию $2$: ${\log }_2\frac{1}{2}<{\log }_2\frac{x-1}{x+1}<{\log }_{2}1$ Так как основание $2>1$, функция возрастает, знаки сохраняются: $\frac{1}{2}<\frac{x-1}{x+1}<1$

• $\frac{x-1}{x+1}<1⟹\frac{x-1-x-1}{x+1}<0⟹\frac{-2}{x+1}<0⟹x+1>0⟹x>-1$ . $\frac{x-1}{x+1}>\frac{1}{2}⟹\frac{2x-2-x-1}{2(x+1)}>0⟹\frac{x-3}{2(x+1)}>0$ .
  Корни: $3$ и $-1$. Интервалы: $(-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$. Пересечение для Случая 1: $(3;+\infty )$.

Случай 2: ${\log }_2\frac{x-1}{x+1}>1$ ${\log }_2\frac{x-1}{x+1}>{\log }_{2}2⟹\frac{x-1}{x+1}>2$ $\frac{x-1-2(x+1)}{x+1}>0⟹\frac{x-1-2x-2}{x+1}>0⟹\frac{-x-3}{x+1}>0⟹\frac{x+3}{x+1}<0$ Корни: $-3$ и $-1$. Интервал: $(-3;-1)$. 5. Сопоставление с ОДЗ и ответ Объединяем полученные интервалы: $x\in (-3;-1)\cup (3;+\infty )$. Проверяем ОДЗ ( $x<-1$ или $x>1$): оба интервала полностью входят в ОДЗ. Ответ: $x\in (-3;-1)\cup (3;+\infty )$Я могу составить для вас аналогичное задание для закрепления материала или разобрать графический метод решения этого неравенства. Хотите продолжить?