Решить тригонометрическое уравнение .1) 4sin^2x - 4sinx + 1=02) 4cos^2x + sinx - 1=0

Решение уравнения 1: 4sin²x - 4sinx + 1 = 0 Данное уравнение является квадратным относительно sinx.

1. Замена переменной:
   Пусть sinx = t, где |t| ≤ 1.
   Тогда уравнение принимает вид: 4t² - 4t + 1 = 0.
2. Решение квадратного уравнения:
   Заметим, что левая часть представляет собой полный квадрат:
   (2t - 1)² = 0.
   2t - 1 = 0
   2t = 1
   t = 1/2.
3. Обратная замена:
   sinx = 1/2.
4. Нахождение корней:
   x = (-1)ⁿ · arcsin(1/2) + πn, n ∈ Z.
   x = (-1)ⁿ · π/6 + πn, n ∈ Z.

Решение уравнения 2: 4cos²x + sinx - 1 = 0 Для решения приведем уравнение к одной тригонометрической функции, используя основное тождество: cos²x = 1 - sin²x.

1. Преобразование:
   4(1 - sin²x) + sinx - 1 = 0
   4 - 4sin²x + sinx - 1 = 0
   -4sin²x + sinx + 3 = 0
   Умножим на -1:
   4sin²x - sinx - 3 = 0.
2. Замена переменной:
   Пусть sinx = t, где |t| ≤ 1.
   4t² - t - 3 = 0.
3. Решение квадратного уравнения:
   Найдем дискриминант: D = b² - 4ac = (-1)² - 4 · 4 · (-3) = 1 + 48 = 49.
   t₁ = (1 + 7) / 8 = 1.
   t₂ = (1 - 7) / 8 = -6/8 = -3/4.
4. Обратная замена:
   • Случай 1: sinx = 1.
     x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.
   • Случай 2: sinx = -3/4.
     x = (-1)ᵐ · arcsin(-3/4) + πm, m ∈ Z.
     Учитывая, что arcsin(-a) = -arcsin(a):
     x = (-1)ᵐ⁺¹ · arcsin(3/4) + πm, m ∈ Z.

Ответы:

1. x = (-1)ⁿ · π/6 + πn, n ∈ Z.
2. x = π/2 + 2πk; x = (-1)ᵐ⁺¹ · arcsin(3/4) + πm; k, m ∈ Z.

Хотите ли вы рассмотреть отбор корней для этих уравнений на конкретном числовом промежутке?