Решить уравнение: 1)х⁴=81 2)х⁵=-1/32⁵ 3)5x²=-160 4)2x⁶=128

Ниже представлено подробное решение данных уравнений. 1) $x^4=81$ Это степенное уравнение с четным показателем. Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень четвертой степени. Поскольку показатель четный, уравнение имеет два корня: положительный и отрицательный.

• $x=\pm \sqrt[4]{81}$ Так как $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81$, то $\sqrt[4]{81}=3$ . Ответ: $x_1=3,x_2=-3$.

2) $x^5=-\frac{1}{32}$ Это степенное уравнение с нечетным показателем. Корень нечетной степени из отрицательного числа существует и является единственным.

• $x=\sqrt[5]{-\frac{1}{32}}$ Выносим минус за знак корня: $x=-\sqrt[5]{\frac{1}{32}}$ Так как $2^5=32$, то $\sqrt[5]{32}=2$ , следовательно, $\sqrt[5]{\frac{1}{32}}=\frac{1}{2}$ . Ответ: $x=-0,5$ (или $-\frac{1}{2}$ ).

3) $5x^2=-160$ Сначала приведем уравнение к каноническому виду, разделив обе части на 5.

• $x^2=\frac{-160}{5}$ $x^2=-32$ Анализ: Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен ( $x^2\ge 0$). Следовательно, уравнение не имеет решений среди действительных чисел. Ответ: Нет действительных корней.

4) $2x^6=128$ Сначала разделим обе части уравнения на коэффициент перед $x$.

• $x^6=\frac{128}{2}$ $x^6=64$ Показатель степени четный, значит, уравнение имеет два корня. Извлекаем корень шестой степени: $x=\pm \sqrt[6]{64}$ Так как $2^6=64$ ( $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=64$), то $\sqrt[6]{64}=2$ . Ответ: $x_1=2,x_2=-2$.

Хотите, чтобы я разобрал решение подобных уравнений с использованием комплексных чисел для тех случаев, где нет действительных корней? Good response Bad response