Решить уравнение 2sin^2x+7sinx+3=0

Для решения уравнения $2{\sin }^{2}x+7\sin x+3=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Введение замены Пусть $\sin x=t$. Поскольку область значений функции синус ограничена, наложим условие: $\left|t\right|\le 1$. После замены уравнение принимает вид квадратного: $2t^2+7t+3=0$2. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=7^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$ Корни уравнения находим по формуле $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ :

• $t_1=\frac{-7+\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{-7+5}{4}=\frac{-2}{4}=-0,5$ $t_2=\frac{-7-\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{-7-5}{4}=\frac{-12}{4}=-3$

3. Обратная замена Проверим корни на соответствие условию $\left|t\right|\le 1$:

1. $t_2=-3$ — корень не подходит, так как $-3<-1$. Уравнение $\sin x=-3$ не имеет решений. $t_1=-0,5$ — корень подходит.

Решим уравнение: $\sin x=-0,5$Используем общую формулу для решения уравнения $\sin x=a$: $x=\left(-1{)}^k\arcsin \right(a)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Подставляем наше значение: $x=\left(-1{)}^k\arcsin \right(-0,5)+\pi k$ $x=(-1{)}^k(-\frac{\pi }{6})+\pi k$ Эту запись можно представить в виде двух серий решений:

• $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Или в компактном виде: $x=(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Хотите, чтобы я отобрал корни этого уравнения на определенном промежутке?