Разрешите уравнение cos2x+5sinx +2=0

Для решения уравнения $\cos \left(2x\right)+5\sin \left(x\right)+2=0$ воспользуемся тригонометрическими тождествами и методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Используем формулу косинуса двойного угла через синус: $\cos \left(2x\right)=1-2{\sin }^2\left(x\right)$Подставим это выражение в исходное уравнение: $(1-2{\sin }^2(x\left)\right)+5\sin \left(x\right)+2=0$Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $-2{\sin }^2\left(x\right)+5\sin \left(x\right)+3=0$Для удобства умножим все уравнение на $-1$: $2{\sin }^2\left(x\right)-5\sin \left(x\right)-3=0$2. Введение новой переменной Пусть $t=\sin \left(x\right)$. Учитывая область значений функции синус, наложим ограничение: $\left|t\right|\le 1$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $2t^2-5t-3=0$3. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot (-3)=25+24=49$Вычислим корни: $t_1=\frac{5+\sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$ $t_2=\frac{5-7}{4}=\frac{-2}{4}=-0.5$ 4. Обратная подстановка Проверим корни на соответствие условию $\left|t\right|\le 1$:

1. $t_1=3$ — не подходит, так как значение синуса не может превышать 1. $t_2=-0.5$ — подходит.

Решим уравнение для второго корня: $\sin \left(x\right)=-0.5$Используем общую формулу для решения уравнения $\sin \left(x\right)=a$: $x=\left(-1{)}^k\arcsin \right(a)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$Для $a=-0.5$ (что соответствует $-\frac{1}{2}$ ): $\arcsin \left(-0.5\right)=-\frac{\pi }{6}$ Следовательно: $x=(-1{)}^k(-\frac{\pi }{6})+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Эту запись также можно представить в виде двух серий решений:

1. $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k$

Ответ: $x=(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Я могу также выполнить отбор корней на заданном числовом промежутке, если это необходимо для вашей задачи.