Уравнение sin(x)+cos(x)= -0.2

Для решения уравнения $\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)=-0.2$ наиболее эффективным методом является введение вспомогательного угла. 1. Преобразование левой части Воспользуемся формулой $a\sin \left(x\right)+b\cos \left(x\right)=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$ , где $\tan \left(\phi \right)=\frac{b}{a}$ . В данном случае $a=1$ и $b=1$. Следовательно:

• Амплитуда: $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ Вспомогательный угол: так как коэффициенты при синусе и косинусе равны, $\phi =\frac{\pi }{4}$ (или 45°)

Уравнение принимает вид: $\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})=-0.2$ 2. Изоляция тригонометрической функции Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$ : $\sin (x+\frac{\pi }{4})=\frac{-0.2}{\sqrt{2}}$ Для удобства вычислений представим правую часть в ином виде: $\frac{-0.2}{\sqrt{2}}=\frac{-1/5}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{5\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{10}$ 3. Нахождение общего решения Используя общую формулу для уравнения $\sin \left(t\right)=a$: $x+\frac{\pi }{4}=(-1{)}^n\arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{10})+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Так как функция $\arcsin$ нечетная ( $\arcsin (-z)=-\arcsin \left(z\right)$): $x+\frac{\pi }{4}=(-1{)}^{n+1}\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right)+\pi n$ Переносим $\frac{\pi }{4}$ в правую часть: $x=-\frac{\pi }{4}+(-1{)}^{n+1}\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ 4. Альтернативная форма записи (через две серии корней) Если разбивать решение на две отдельные ветви (для четных и нечетных $n$):

1. $x_1=-\frac{\pi }{4}-\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right)+2\pi k$ $x_2=\frac{3\pi }{4}+\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right)+2\pi k$

Приблизительные значения в радианах Если вычислить $\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right)\approx 0.1419$ :

• $x_1\approx -0.7854-0.1419+2\pi k\approx -0.9273+2\pi k$ $x_2\approx 2.3562+0.1419+2\pi k\approx 2.4981+2\pi k$

Я могу помочь вам отобрать корни этого уравнения на конкретном числовом промежутке, если это необходимо.