В кубе abcda1b1c1d1 определите угол между скрещивающимися прямыми ac1 и a1b

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми в кубе удобнее всего воспользоваться методом координат. Этот метод позволяет перевести геометрическую задачу в алгебраическую и избежать сложных дополнительных построений. 1. Введение системы координат Пусть ребро куба равно $1$. Поместим начало координат в точку $A(0,0,0)$. Тогда оси будут направлены вдоль ребер:

• Ось $Ox$ — вдоль $AB$ Ось $Oy$ — вдоль $AD$ Ось $Oz$ — вдоль $A{A}_1$

Координаты нужных нам вершин:

• $A(0,0,0)$ $C_1(1,1,1)$ (противоположная вершина по диагонали куба) $A_1(0,0,1)$ $B(1,0,0)$

2. Нахождение векторов Найдем координаты направляющих векторов для прямых $A{C}_1$ и $A_{1}B$:

1. Вектор $\overrightarrow{A{C}_1}$:
   $\overrightarrow{A{C}_1}=(1-0,1-0,1-0)=\{1,1,1\}$ Вектор $\overrightarrow{A_{1}B}$:
   $\overrightarrow{A_{1}B}=(1-0,0-0,0-1)=\{1,0,-1\}$

3. Вычисление угла Угол $\alpha$ между прямыми равен углу между их направляющими векторами (или дополняет его до ${180}^{\circ }$, если косинус отрицательный). Используем формулу косинуса угла между векторами: $\cos \alpha =\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{\left|\vec{a}\right|\cdot \left|\vec{b}\right|}$ Вычислим скалярное произведение: $\overrightarrow{A{C}_1}\cdot \overrightarrow{A_{1}B}=(1\cdot 1)+(1\cdot 0)+(1\cdot -1)=1+0-1=0$4. Анализ результата Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. $\cos \alpha =0⟹\alpha ={90}^{\circ }$Следовательно, скрещивающиеся прямые $A{C}_1$ и $A_{1}B$ пересекаются под прямым углом. Ответ: ${90}^{\circ }$. Хотите, чтобы я проверил перпендикулярность этих же прямых классическим геометрическим методом через теорему о трех перпендикулярах?