Вычислить определенный интеграл от 2п до 0, (синус 2х-косинус х\4) по дх

Значение определенного интеграла ${\int }_0^{2\pi }(\sin 2x-\cos \frac{x}{4})dx$ равно -4. ️ Шаг 1: Нахождение первообразной функции Для решения используем свойство линейности интеграла и базовые формулы интегрирования тригонометрических функций. Общий вид первообразной для выражения $f\left(x\right)=\sin ax-\cos bx$ определяется как: $F\left(x\right)=-\frac{1}{a}\cos ax-\frac{1}{b}\sin bx$ В нашем случае $a=2$ и $b=\frac{1}{4}$ . Следовательно, первообразная равна: $F\left(x\right)=-\frac{1}{2}\cos 2x-4\sin \frac{x}{4}$ ️ Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница Подставим верхний ( $2\pi$) и нижний ( $0$) пределы интегрирования в полученную первообразную:

1. Вычисление в верхней точке:
   $F\left(2\pi \right)=-\frac{1}{2}\cos 4\pi -4\sin \frac{2\pi }{4}=-\frac{1}{2}\left(1\right)-4\left(1\right)=-4.5$ Вычисление в нижней точке:
   $F\left(0\right)=-\frac{1}{2}\cos 0-4\sin 0=-\frac{1}{2}\left(1\right)-0=-0.5$ Разность значений:
   $I=F\left(2\pi \right)-F\left(0\right)=-4.5-\left(-0.5\right)=-4.5+0.5=-4$

Ответ: -4 Нужно ли подготовить аналогичный разбор для неопределенного интеграла или проверить решение для других границ интегрирования?