Вычислите производные функций а) f(x)= cos x • (cos x - 1)

Для функции $f\left(x\right)=\cos x\cdot (\cos x-1)$ производная равна: ${\mathbf{f}}^{\prime }\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\sin \mathbf{x}\mathbf{-}\sin \mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{\right)}$1. Раскрытие скобок в выражении Для упрощения процесса дифференцирования представим функцию в виде суммы. Раскроем скобки в исходном выражении: $f\left(x\right)=\cos x\cdot \cos x-\cos x\cdot 1={\cos }^{2}x-\cos x$2. Применение правил дифференцирования Воспользуемся правилом производной суммы $(u-v{)}^{\prime }=u^{\prime }-v^{\prime }$ и правилом вычисления производной сложной функции для ${\cos }^{2}x$:

1. Производная первого слагаемого $({\cos }^{2}x{)}^{\prime }$: по правилу степенной функции это $2\cos x\cdot (\cos x{)}^{\prime }=2\cos x\cdot (-\sin x)=-2\sin x\cos x$. Производная второго слагаемого $(\cos x{)}^{\prime }$: это $-\sin x$.

Сложим полученные результаты: $f^{\prime }\left(x\right)=-2\sin x\cos x-(-\sin x)=-2\sin x\cos x+\sin x$3. Упрощение полученного результата Используем тригонометрическую формулу двойного аргумента $\sin \left(2x\right)=2\sin x\cos x$. Подставим её в выражение: $f^{\prime }\left(x\right)=\sin x-\sin \left(2x\right)$ На графике выше синей линией обозначена исходная функция, а красным пунктиром — её производная. Точки, где производная пересекает ось $Ox$ ( $f^{\prime }\left(x\right)=0$), соответствуют экстремумам исходной функции. Ответ Производная функции $f\left(x\right)=\cos x\cdot (\cos x-1)$ составляет $f^{\prime }\left(x\right)=\sin x-\sin \left(2x\right)$. Нужно ли вам найти критические точки данной функции или вычислить значение производной в конкретной точке?