Знаменатель геометрической прогрессии 1/3,четвертый член 1/54,а сумма всех членов 121/162.найти число членов прогрессий

Число членов данной геометрической прогрессии равно 5. ️ Шаг 1: Нахождение первого члена прогрессии Для нахождения первого члена прогрессии $b_1$ воспользуемся формулой $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n=b_1{q}^{n-1}$. Нам известны четвертый член $b_4=\frac{1}{54}$ и знаменатель $q=\frac{1}{3}$ . $b_4=b_1{q}^3$Подставим известные значения в уравнение: $\frac{1}{54}=b_1\cdot (\frac{1}{3}{)}^3$ $\frac{1}{54}=b_1\cdot \frac{1}{27}$ Отсюда находим $b_1$: $b_1=\frac{27}{54}=\frac{1}{2}$ ️ Шаг 2: Составление уравнения для суммы членов Используем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ . По условию $S_n=\frac{121}{162}$ , $b_1=\frac{1}{2}$ и $q=\frac{1}{3}$ . $\frac{121}{162}=\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{3}{)}^n)}{1-\frac{1}{3}}$ Упростим знаменатель в правой части: $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ . $\frac{121}{162}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot (1-(\frac{1}{3}{)}^n)$ $\frac{121}{162}=\frac{3}{4}\cdot (1-(\frac{1}{3}{)}^n)$ ️ Шаг 3: Вычисление количества членов n Выразим выражение с неизвестной степенью $n$: $1-(\frac{1}{3}{)}^n=\frac{121}{162}\cdot \frac{4}{3}$ $1-(\frac{1}{3}{)}^n=\frac{121\cdot 2}{81\cdot 3}$ $1-(\frac{1}{3}{)}^n=\frac{242}{243}$ Теперь найдем $(\frac{1}{3}{)}^n$ : $(\frac{1}{3}{)}^n=1-\frac{242}{243}$ $(\frac{1}{3}{)}^n=\frac{1}{243}$ Так как $243=3^5$, то уравнение принимает вид: $(\frac{1}{3}{)}^n=(\frac{1}{3}{)}^5$ Следовательно, $n=5$. Ответ: Число членов прогрессии равно 5. Хотите проверить решение для других параметров или перейти к изучению бесконечно убывающих геометрических прогрессий?